Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 39Satz 2.12Betrachte das lineare GleichungssystemAx = b (2.10)mit A ∈ IK m,n ,b∈ IK m .Das Gaußsche Eliminationsverfahren liefert ein GleichungssystemA ′ x = b ′ (2.11)mit( )( )B CcA ′ =∈ IKΘ Θm,n ,b ′ = ∈ IKdm,1 ,wobei B ∈ IK r,r ,r ≤ min{m, n}, eine reguläre Matrix von oberer Dreiecksgestalt ist.Zusätzlich gilt:(a) Das Gleichungssystem (2.10) ist lösbar genau dann, wenn d = θ.(b) Ist das System (2.10) lösbar, so erhält man die Lösungskomponenten x 1 ,...,x rin eindeutiger Weise (Rückwärtssubstitution) als Lösung z vonBz = c (2.12)durch x i := z i , 1 ≤ i ≤ r; die restlichen Komponenten x r+1 ,...,x n sind freiwählbar.Beweis:Die Aussagen folgen aus der Entwicklung der Algorithmen “Rückwärtssubstitution“ und“Eliminationsverfahren nach Gauß“. Daß x r+1 ,...,x n frei wählbar sind, folgt aus derForm des Systems (2.11).Folgerung 2.13Ist das System (2.10) quadratisch, d.h. ist m = n, so tritt genau eine der folgendenAlternativen ein:(i) Das System (2.10) ist eindeutig lösbar.(ii) Das zugehörige homogene System ( b = θ) hat nichttriviale Lösungen.Beweis:Es tritt genau eine der Alternativen r = n oder r