Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 37Zeilenvertauschung:Spaltenvertauschungen:Multiplikation:Addition:Zwei Gleichungen vertauschen, was einer Zeilenvertauschungin der Systemmatrix und der rechten Seite bedeutet.Vertauschung von zwei Unbekannten, was einer Spaltenvertauschungin der Systemmatrix entspricht; man hat sichdies zu merken!Eine Gleichung wird mit einem Skalar r ≠ 0 multipliziert.Dies entspricht der Multiplikation einer Zeile in der Systemmatrixund in der rechten Seite.Eine Gleichung wird zu einer anderen Gleichung addiert.Dies entspricht einer Addition einer Zeile in der Systemmatrixund in der rechten Seite.Kein Zweifel, nichts ändert sich an der Lösungsmenge, da man jeden Schritt wiederrückgängig machen kann. Man beachte, daß man, bis auf die Spaltenvertauschung, dieManipulationen stets auf die geränderte Matrix (A|b) anzuwenden hat (A Systemmatrix,b rechte Seite). In unserer Einführung in Abschnitt 2.1 haben wir diese Schritte bereitskennengelernt. Wir geben dieser elementaren Formulierung eine Matrixformulierung.Sei eine (m × n) – Matrix A 0 gegeben. Wir konstruieren unter Verwendung der obigenManipulationsschritte eine Folge A 0 ,A 1 ,... in folgender Weise:• Sei A k gefunden und sei A k von der Form(B CA k =Θ D),wobei B ∈ IK k,k eine reguläre Matrix von oberer Dreiecksgestalt ist.• Ist D die Nullmatrix, können wir abbrechen.• Sonst wird A k+1 konstruiert nach folgendem Vorgehen:◦ Wähle in D =(d ij ) i=1(1)m−k , j =1(1)n−kein Element d ij ≠0. Ein solches Elementwird ein Pivotelement (Ankerelement) genannt.◦ Bringe dieses Pivotelement durch Spalten– und Zeilenvertauschung in die Position(1,1) von D, d.h. wir können o.E. nun annehmen: d 11 ≠0. Beachte:Zeilenvertauschungen und Addition von Zeilen sind an der geränderten Matrixvorzunehmen, Spaltenvertauschungen hat man sich zu merken.◦ Addiere geeignete Vielfache der ersten Zeile von D zu den darunterliegendenZeilen mit dem Ziel, daßerreicht wird.d 21 = ···= d (m−k)1 =0Dies waren elementare Umformungen und es ergibt sich die Matrix A k+1 .DasVorgehenist damit (induktiv) beschrieben.