Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 34Satz 2.8(a) Ist das System (2.9) homogen, so hat es die triviale Lösung x = θ.(b) L θ := {x ∈ IK n,1 |Ax = θ} ist abgeschlossen bzgl. der Addition und skalarenMultiplikation, d.h.u + v ∈ L θ ,ru∈ L θ , , falls u, v ∈ L θ ,r ∈ IK .(c) Ist L b := {x ∈ IK n,1 |Ax = b} ≠ ∅, dann istL b =¯x + L θ := {¯x + u|u ∈ L θ } ,wobei ¯x (irgendeine spezielle) Lösung von (2.9) ist.Beweis:Zu (a). Trivial.Zu (b). Folgt aus (2.8).Zu (c).Sei x ∈ L b . Dann gilt A(x − ¯x) =θ, d.h. x − ¯x ∈ L θ .Sei x =¯x + u mit u ∈ L θ . Dann ist offenbar Ax = A¯x = b, d.h. x ∈ L b .Beispiel 2.9( )0 1Sei A := .0 0(1)( ) ( )( )0 1 x1, ∈ L0 0 θ , aberx{( ) } 2r∣∣∣Also L θ = r ∈ IK .0/∈ L θ , falls x 2 ≠0.(01)(2) Für b =gilt L b = ∅ .(10(3) Für b =){(rgilt L b =1) ∣∣∣r ∈ IK}, da(01)∈ L b .22.4 Das EliminationsverfahrenDie Lösung linearer Gleichungssysteme ist zentral in der numerischen Mathematik undin weiterem Sinne auch in der angewandten Mathematik. Die konstruktive Lösungsideebesteht darin, ein gegebenes System durch äquivalente Umformungen, d.h. durch Umformungen,die die Lösungsmenge nicht ändern, in eine Form zu bringen, aus der man dieLösung dann ablesen kann. Eine solche erstrebenswerte Form ist eine Matrix von obererDreiecksgestalt: