Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 32Zeilenvektoren kleine Buchstaben. Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation übertragensich sofort von IK m,1 auf IK m gemäßx + y := (x 1 + y 1 ,...,x m + y m )x − y := (x 1 − y 1 ,...,x m − y m )rx := (rx 1 ,...,rx m ) ,wobei x =(x 1 ,...,x m ) ,y=(y 1 ,...,y m ) ∈ IK m ,r∈ IK .Die SchreibweiseAx = bfür das Gleichungssystem in n Unbekannten und m Gleichungen ist damit nun wohlerklärt:Es handelt sich bei der Schreibweise Ax um ein Produkt der Matrix A mitdem Spaltenvektor x.Eine Matrix A ∈ IK m,n können wir uns, je nach Interesse, aus SpaltenvektorenA = ( a 1 ... a n ) ,a j ∈ IK m,1 , 1 ≤ j ≤ n,oder aus Zeilenvektoren⎛b 1 ⎞⎜ ⎟A = ⎝ . ⎠ ,b i ∈ IK 1,n , 1 ≤ i ≤ m,b maufgebaut denken.Jede Matrix A ∈ IK m,n vermittelt durcheine Abbildung T A . Es gilt offenbar:IK n,1 ∋ x ↦−→ Ax ∈ IK m,1T A (x + y) =T A (x)+T A (y) ,T A (rx) =rT A (x) ,x,y∈ IK m,1 ,r ∈ IK . (2.8)Auf Grund der Eigenschaften (2.8) nennen wir die Abbildung T A linear. Aus der Beschäftigungmit fast ausschließlich linearen Abbildungen leitet sich das Wort linear in der Bezeichnung“Lineare Algebra“ ab.Die Identität id IK n,1wird induziert durch die EinheitsmatrixE := (δ ij ) i=1(1)n , j =1(1)n,wobei δ ij das sogenannte Kronecker–Symbol{1 , falls i = jδ ij =0 , sonst