Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 30Das Gleichungssystem schreiben wir dann alsAx = b (2.7)Wir wollen nun dieser Schreibweise und dem Wort “linear“ Gehalt geben. Dazu habenwir noch zusätzliche Strukturen auszumachen.2.2 Matrizen und VektorenWir setzenIK m,n := { A | A =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n,i=1(1)m, j =1(1)n }jedes Element von IK m,n heißt eine (m × n) – Matrix. Wir nennen IK m,n den Ring der(m × n) – Matrizen über IK , falls m = n gilt. Die Bezeichnung “Ring“ verdeutlichen wirspäter. Jedes Element A =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n∈ IK m,n ist also ein Schema, wie wir es imZusammenhang mit dem Gleichungssystem eingeführt haben.Nun führen wir Verknüpfungen ein:Addition:⊕ : IK m,n × IK m,n ∋ (A, B) ↦−→ A ⊕ B := (a ij + b ij ) i=1(1)m , j =1(1)n∈ IK m,nwobei A =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n,B=(b ij ) i=1(1)m , j =1(1)n.Multiplikation:( n)⊙ : IK m,n × IK n,l ∑∋ (A, B) ↦−→ A ⊙ B := a ik · b kj ∈ IK m,lk=1i=1(1)m , j =1(1)lSkalare Multiplikation:wobei A =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n,B=(b ij ) i=1(1)n , j =1(1)l.• : IK × IK m,n ∋ (r, A) ↦−→ r • A := (r · a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n∈ IK m,nwobei A =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n.Das Wort “skalar“ wird seine Bedeutung im Kapitel über Vektorräume bekommen.Die eben eingeführte Bezeichnung wollen wir sofort wieder zugunsten der gebräuchlichen,kürzeren Notation abändern:IK m,n × IK m,n ∋ (A, B) ↦−→ A + B := A ⊕ B ∈ IK m,nIK m,n × IK n,l ∋ (A, B) ↦−→ AB := A · B := A ⊙ B ∈ IK m,lIK × IK m,n ∋ (r, A) ↦−→ rA := r · A := r • A ∈ IK m,n