Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 28Fall 3: Tritt Fall 1 nicht ein, so kann o.E. Fall 2 erreicht werden, denn:Ist a 11 ≠0, ist Fall 2 gegeben.Ist a 21 ≠0, mache Gleichung (2.2) zur Gleichung (2.3) und Gleichung (2.3) zur Gleichung(2.2) durch Umnummerierung (“Zeilenvertauschung“).Ist a 12 ≠0, mache Unbekannte x 1 zur Unbekannten x 2 und Unbekannte x 2 zur Unbekanntenx 1 (“Spaltenvertauschung“).Ist a 22 ≠0, kombiniere die Schritte “Zeilenvertauschung“ und “Spaltenvertauschung“.Bemerkung 2.1Die Lösung des Gleichungssystems (2.2),(2.3) bedeutet offenbar, den Schnittpunkt derbeiden Geradena 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 ,a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2im “Anschaungsraum“ IK 2 zu suchen. 2Bemerkung 2.2Die Größe ∆, welche im Fall 1 gleich Null ist, bestimmt offenbar, ob es genau eine Lösungdes Gleichungssystems (2.2),(2.3) gibt oder nicht. Diese Zahl heißt Determinante betrachtetin Abhängigkeit von den Größen a ij im Gleichungssystem, heißt sie Determinantenfunktion.Wir widmen dieser Größe das Kapitel 7.Die Bezeichnung “Spaltenvertauschung“ wird am Ende dieses Abschnitts noch einsichtigwerden. 2Beispiel 2.3Wir betrachten eine spezielle Interpolationsaufgabe, eine allgemeinere Betrachtungfolgt in Kapitel 4.Finde eine Parabel y = ax 2 + bx + c durch die Punkte (0, 0), (1, 1), (−1, 2) .Als Gleichungssystem erhalten wir in naheliegenderweise:Also c = 0 und0=a · 0+b · 0+c, 1=a · 1 2 + b · 1+c, 2=a · (−1) 2 + b · (−1) + c.a + b =1,a− b =2,d.h.a =3/2 ,b= −1/2 ,c=0.Damit ist die Parabel nun (eindeutig) bestimmt. 2Ein lineares Gleichungssystem in n Unbekannten und m Gleichungen ist gegebendurch ein Schemaa 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1. .. .a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m