Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 27mit Steigung −a 1 a −12 , bzw.als Lösung.{(z 1 ,z 2 )|z 1 = a −11 (b − a 2 z 2 ) ,z 2 ∈ IK } , falls a 1 ≠0,Wir nennen die Gleichung (2.1) eine lineare Gleichung, da in ihr nur Summanden derForm a i x i auftreten; eine algebraische Definition des Begriffs “linear“ in allgemeineremRahmen folgt später. Keine linearen Gleichungen sind demnach:x 1 +3x 2 2 =7, √ x 1 +2x 2 = −1 ,x 1 x 2 + x 2 =1.Für das System linearer Gleichungena 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 (2.2)a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 (2.3)mit a 11 ,a 12 ,a 21 ,a 22 ,b 1 ,b 2 ∈ IK sucht man “simultane“ Lösungen, d.h. Paare (x 1 ,x 2 ) ∈IK 2 , sodaß beim Einsetzen beide Gleichungen erfüllt sind. Wir machen eine Fallunterscheidung:Fall 1: a 11 = a 12 = a 21 = a 22 =0.Ist b 1 ≠0oderb 2 ≠0, so gibt es keine Lösung.Sind b 1 = b 2 =0, so sind alle Paare (x 1 ,x 2 )Lösungen.Fall 2: a 11 ≠0.Addiere das (−a −111 a 21 ) – fache der ersten Gleichung (2.2) zur zweiten Gleichung (2.3).Dies ergibt0 · x 1 +(a 22 − a −111 a 21 a 12 )x 2 = b 2 − a −111 a 21 b 1 . (2.4)Multiplikation mit a 11 führt auf(a 11 a 22 − a 12 a 21 )x 2 = a 11 b 2 − a 21 b 1 . (2.5)Die Lösungsmengen von (2.2),(2.3) bzw. (2.2),(2.4) bzw. (2.2),(2.5) sind identisch.Fall 2a: ∆:=a 11 a 22 − a 12 a 21 ≠0.Man rechnet aus (2.5) x 2 aus:x 2 =∆ −1 (a 12 b 2 − a 21 b 1 ) ,setzt in (2.2) ein und “löst“ nach x 1 auf (siehe Überlegungen zur Gleichung mit einerUnbekannten):x 1 =∆ −1 (a 22 b 1 − a 12 b 2 ) .Man verifiziert, daß nun das Paar (x 1 ,x 2 ) den Gleichungen (2.2),(2.3) genügt. Es gibt alsogenau eine Lösung.Fall 2b: ∆=0.Nun existiert für a 11 b 2 − a 21 b 1 ≠0keineLösung. Für a 11 b 2 − a 21 b 1 =0istx 2 in (2.5) freiwählbar und als Lösungsmenge zum Gleichungssystem (2.2),(2.3) erhalten wir die Menge{(x 1 ,x 2 )|x 1 = a −111 (b 1 − a 12 x 2 ) ,x 2 ∈ IK } .