Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Kapitel 2Lineare GleichungssystemeWir betrachten lineare Gleichungssysteme mit “Zahlen“ als Koeffizienten. Wir nehmendabei Bezug auf den Abschnitt 1.5, in dem wir als Zahlbereich IK ∈{′Q, IR} betrachtethaben. In den Kapiteln über Vektorräume und lineare Abbildungen ordnen wir dieBetrachtungen in einen allgemeineren Kontext ein.2.1 Beispiele und EinführungSei IK ∈{′Q, IR }. Die Addition in IK schreiben wir mit + , die Multiplikation mit · ,meist jedoch lassen wir · auch weg.Betrachte eine Gleichungax = b (a, b ∈ IK )in einer “Unbekannten“. Als Lösung suchen wir x ∈ IK , sodaß die Gleichung, wenn wir xeinsetzen, erfüllt ist. Die Gleichung hat– keine Lösung, falls a =0, aber b ≠0ist;– jedes x als Lösung, falls a = 0 und b =0ist;– genau eine Lösung x = a −1 b, falls a ≠0ist.Die Gleichunga 1 x 1 + a 2 x 2 = b (2.1)in zwei Unbekannten mit a 1 ,a 2 ,b∈ IK hat– keine Lösung, falls a 1 = a 2 =0, aber b ≠0ist;– alle (x 1 ,x 2 ) ∈ IK 2 als Lösung, falls a 1 = a 2 = b =0ist;– alle Paare (x 1 ,x 2 )ind.h. alle Punkte der Geraden{(z 1 ,z 2 )|z 2 = a −12 (b − a 1 z 1 ) ,z 1 ∈ IK } , falls a 2 ≠0,y = −a −12 a 1 x + b26