Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 24Beispiel 1.35Betrachte für IK := ′Q die Polynomep(x) :=x 3 +3x 2 +6x +5,q(x):=3x 2 +6x +6.Der Durchlauf des euklidischen Algorithmus sieht so aus:EIN p(x) :=x 3 +3x 2 +6x +5,q(x):=3x 2 +6x +6.SCHRITT 1 f 0 := p, f 1 := q.SCHRITT 3 ¯f(x) =2x + 3 denn(x 3 +3x 2 +6x +5):(3x 2 +6x +6)=1/3 x +1/3 mitRest2x +3.SCHRITT 4 f 0 (x) =3x 2 +6x +6,f 1 (x) =2x +3.SCHRITT 3 ¯f(x) =15/4 denn(3x 2 +6x +6):(2x +3)=3/2 x +3/4 mitRest15/4 .SCHRITT 4 f 0 (x) =2x +3,f 1 (x) =15/4 .SCHRITT 3 ¯f(x) =0denn(2x +3):15/4 =8/15 x +4/5 mitRest0.SCHRITT 4 f 0 (x) =15/4 ,f 1 (x) =0.AUS f 0 (x) =15/4 ,f 1 (x) =0.Also ist das Polynom d(x) :=15/4 eingrößter gemeinsamer Teiler der Polynome p, q .Wir nennen die Polynome auf Grund der Tatsache, daß der größte gemeinsame Teiler einPolynom vom Grad 0 und dieser ja nur bis auf solche Polynome eindeutig bestimmt ist,teilerfremd. Dies korrespondiert mit der Tatsache, daß q keine reelle Nullstelle hat undselbst kein Teiler von p ist, wie die obige Rechnung gezeigt hat. 2Teilbarkeit und Primfaktorzerlegung spielen eine große Rolle in der Algebra. Welch interessanteVielfalt Polynome dabei schon aufzeigen, sieht man etwa an dem Polynomp(x) :=x 4 − 7 .Betrachtet man das Polynom über dem Körper ′Q, so hat es keine Nullstelle und mankann es nicht echt in ein Produkt von Polynomen mit Koeffizienten in ′Q zerlegen; mannennt es daher irreduzibel.Betrachtet man das Polynom in IR, so zerfällt es in Faktorenp(x) =(x 2 − √ 7)(x 2 + √ 7)und man kann zwei reelle Nullstellen ablesen:x = ± 4√ 7 .Beachte, daß in IR 4–te Wurzeln aufgrund der Vollständigkeit von IR wohldefiniert sind.Betrachtet man das Polynom in ′C – wir haben komplexe Zahlen noch nicht eingeführt,wir erwähnen dies nur der Vollständigkeit halber –, so hat p die Nullstellenx = ± 4√ 7 ,x= ±i 4√ 7 ,