Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 22Beispiel 1.32Manbestimmedengrößten gemeinsamen Teiler von 3293 und 2405.Wir schreiben jeweils SCHRITT 3 auf:3293 = 1 · 2405 + 8882405 = 2 · 888 + 629888 = 1 · 629 + 259629 = 2 · 259 + 111259 = 2 · 111 + 37111 = 3 · 37 + 0Also ggT(3293, 2405) = 37 .Wir stellen fest, daß die Zahlenfolgea 1 = 3293,a 2 = 2405,a 3 = 888,a 4 = 629,a 5 = 259,a 6 = 111,a 7 =37folgender Abschätzung genügt:a i+2 ≤ a i /2 ,i=1,...,5 .Läßt sich eine entsprechende Aussage allgemein beweisen? Diese und ähnliche Fragenwerden in der Komplexitätstheorie (Diskrete Mathematik, Mathematische Informatik)untersucht. 2Damit ist der euklidische Algorithmus für natürliche Zahlen erklärt, die Erweiterung aufganze Zahlen ist offensichtlich. Er hat seine Entsprechung bei den Polynomen.Definition 1.33Sei IK ∈{ZZ , ′Q, IR}. Ein Polynom mit Koeffizienten in IK ist eine Funktionp : IK ∋ x ↦−→m∑a i x i ∈ IKi=0Hierbei heißt die Zahl m der Grad von p, falls a m ≠0. (Den Grad des Nullpolynoms(a 0 = ...= a m =0)setzen wir mit −1 fest.) Wir schreiben für den Grad m von p :m := deg p.2In der obigen Definition haben wir den analytischen Standpunkt, ein Polynom als Abbildungaufzufassen, eingenommen. Die algebraische Sicht besteht darin, ein Polynom alsObjekt in einer Unbekannten zu betrachten. In Kapitel 3 gehen wir darauf ein.Polynome haben überragende Bedeutung als interessanter Gegenstand in der Algebra (allgemeineArithmetik), in der Analysis auf Grund der Tatsache, daß jede stetige Funktion(lokal) gut durch Polynome approximiert werden kann, und in der numerischen Mathematik,da Polynome darüberhinaus einfach durch ihre Koeffizienten abgespeichert werden