Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 21Euklidischer Algorithmus:EIN m, n ∈ IN 0 . O.E. m>n≥ 0 .SCHRITT 1 f 0 := m, f 1 := n.SCHRITT 2 Ist f 1 =0, gehe zu AUS .SCHRITT 3 ¯f := f 0 −|f 0− f |f 1 − 1 .SCHRITT 4 f 0 := f 1 ,f 1 := ¯f gehe zu SCHRITT 2 .AUS f 0 ,f 1 mit: f 0 = ggT(m, n),f 1 =0.Der Schritt 3 ist nichts anderes als eine Umformulierung der Division von f 0 durch f 1 miteinem Rest ¯f kleiner als f 0 .Die Verifikation, daß der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler d von m, n berechnet(Nachweis der Korrektheit des Algorithmus), stützt sich auf folgende Beobachtungen:(a) Ist f 1 > 0 , so gilt:(b) Ist f 0 >f 1 > 0 , so gilt:ggT(f 0 ,f 1 )=ggT(f 1 ,f 0 −| −f 0f 1− |f 1) .¯f := f 0 −| −f 0f 1− |f 1