Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 20und schließlichRückübersetzung ergibtz ≡ 2(mod 3) oder z =2+3l,l∈ ZZ .x ≡ 11 (mod 12) .2Definition 1.29Eine Zahl p ∈ IN ,p≠1, heißt Primzahl genau dann, wenn gilt:m|p =⇒ m =1oder m = p.2Seit Euklid weiß man, daß es unendlich viele Primzahlen gibt.Definition 1.30Seien m, n ∈ IN 0 , aber nicht beide 0.d ∈ IN heißt größter gemeinsamer Teiler von m, n, abgekürzt ggT(m,n), genaudann wenn gilt:• d teilt m und n ;• teilt q ∈ IN sowohl n als auch m, so teilt q auch d.2Bekanntlich gibt es zu jedem m ∈ IN \{1} Primzahlen p 1 ,...,p l (nicht notwendig alleverschieden) mitm = p 1 ···p l(Primfaktorzerlegung von m). Nun ist klar, daß zu je zwei Zahlen m, n ∈ IN 0 mit m+n ≠0stets ein größter gemeinsamer Teilerd = ggT(m, n)existiert. Aus der Definition 1.30 liest man ab, daß für zwei größte gemeinsame Teilerd, d ′ von m, n ofenbar d|d ′ , d ′ |d, alsod = d ′ gilt. Diesen eindeutig bestimmten größtengemeinsamen Teiler kann man durch Teilung mit Rest berechnen. Das resultierende Rechenschemaist der Euklidische Algorithmus.Zur Formulierung sind die sogenannten Gaußklammern nützlich. Für eine reelle Zahl rseien definiert:| −r −| := größte ganze Zahl z mit z ≤ r, | − r − | := kleinste ganze Zahl z mit z ≥ r.