Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 259d.h. (mit α ≥ α ∗ )γ(< c,v>−α ∗ ) > 0 ,γ>0.Setze y := − 1 γ u. Dann gilt: A t y = − 1 γ At u ≤ c, < b, y > > α ∗ .Dies ist ein Widerspruch zur Definition von α ∗ . Also gibt es x ∈ Z mitd.h. x ist Lösung von (LOP).Zu (c)Sei y ∈ Z ∗ . Da Z = ∅ gilt, hat das Systemα ∗ ≤ α ≤ = α ∗ ,Ax = b, x ≥ θkeine Lösung. Mit dem Lemma von Farkas (siehe 9.35) folgt die Existenz von u ∈ IR mmitA t u ≥ θ, < b, u > < 0.Also folgt für y(ɛ) :=y − ɛu , ɛ ≥ 0:supɛ≥0Zu (b)Folgt aus Symmetriegründen (siehe unten).A t y(ɛ) =A t y − ɛA t u ≤ A t y ≤ c,ɛ≥ 0, = +sup−ɛ = ∞.ɛ≥0Wir haben oben zweimal mit einer Symmetrie argumentiert. Dies soll heißen, daß dasduale Problem von (LOP)* wieder (LOP) ist. Um dies zu verifizieren, ist zunächst aber(LOP)* selbst als ein Problem in Standardform zu verstehen. Dies geht so:(LOP)* ist äquivalent mitMinimiere < −b, u − v>unter den Nebenbedingungen A t u − A t v + w = c, u ≥ θ, v ≥ θ, w ≥ θ.Das dazu duale Problem istMaximiere unter den Nebenbedingungen Ax ′ ≤−b, −Ax ′ ≤ b, x ′ ≤ θ.Daraus liest man durch Ersetzen von x ′ durch −x ab, daß das Problem (LOP) entstandenist.Das duale Problem (LOP)*, genauer die dualen Variablen, haben im allgemeinen einephysikalische“ Interpretation, wenn die primalen Variablen, d.h. die Variablen von”(LOP), eine physikalische“ Interpretation haben.”