Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 256Fernerb = ∑ (α k,0 − α s,0α k,0 )a µ k+ α s,0a r .αk≠ss,r α s,rDies bedeutet: Zu β ′ gehört das Tableau mit den Größen (0 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ m)⎧⎨ αα ′ k,j − α s,jαk,j :=s,rα k,r ,k ≠ s⎩ α s,jα s,r,k = sMan erhält also das neue Tableau durch elementare Zeilenumformungen mit dem Ziel, daßin der r-ten Spalte der s-te Einheitsvektor entsteht. Die Berechnung von (∆|∆ 0 ) erfolgtdann wie oben beschrieben: Elementare Zeilenumformungen mit dem Ziel ∆ r =0.Beispiel 9.54Wir starten mit β = {1, 2} und erreichen in Schritt 7 das TableauEs wird die Variable µ 2Tableau1 2 3 41 1 0 1 0 22 0 1 -1 1 10 0 - 2 3 5= 2 gegen r = 4 ausgetauscht. Also ergibt sich als nächstes1 2 3 41 1 0 1 0 2 24 0 1 -1 1 1 ∞0 -3 1 0 2Es liegt noch keine Optimalität vor und es wird die Variable µ 1 = 1 gegen r =3ausgetauscht.Als Tableau ergibt sich1 2 3 43 1 0 1 0 24 1 1 0 1 3-1 -3 0 0 0Da ∆ 1 ≤ 0, ∆ 2 ≤ 0 ist, liegt Optimalität vor. Die optimale Ecke istx =(0, 0, 2, 3)und der zugehörige Wert der Zielfunktion ist 0. 2Der obigen Darstellung entnimmt man, daß die Zielfunktion von Tableau zu Tableau striktabnimmt, wenn die Ecken nicht entartet sind. Dies bedeutet, daß wir mit endlich vielenAustauschritten zum Ziel kommen. Besitzt das Problem (LOP) jedoch auch entarteteEcken, so kann nicht ausgeschlossen werden, daß man zu einer entarteten Ecke gelangt.Da dann die Zielfunktion eventuell beim Austausch nicht abnimmt, kann nicht gesichertwerden, daß man zu einer schon betrachteten Ecke nicht wieder zurückkehrt: Das Simplexverfahrenkann zyklisch werden. Beeinflußt wird dies durch die Wahl von r und s,die ja im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt ist. Naheliegend sind folgende Regeln: