Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 250Also ist=inf{< c,u>|u ∈ Z}.Wir führen mit Indizes µ 1 ,...,µ m ∈{1,...,n} folgende Bezeichnungen ein:A(µ 1 |···|µ m ):=(a µ 1|···|a µm ) ∈ IR m,m ,C(µ 1 |···|µ m ) t := (c µ1 ,...,c µm ) ∈ IR 1,m .Ausgangspunkt für das Simplexverfahren ist nun eine Ecke x ∈ Z mit Basisvariablenµ 1 ,...,µ m . Setze β := {µ 1 ,...,µ m }.Schritt 1 Sei ˜x ∈ IR m,1 definiert durch ˜x i := x µi , 1 ≤ i ≤ m.Da x nach Voraussetzung Ecke ist, giltA(µ 1 |···|µ m )˜x = b ,˜x ≥ θ. (9.4)Schritt 2 Berechne die eindeutige Lösung y vonA(µ 1 |···|µ m ) t y = c(µ 1 |···|µ m ) (9.5)und setze∆:=A t y − c.(∆ heißt Schlupf.)Beachte, daß rg(A(µ 1 |···|µ m ) t = m gilt, da a µ 1,...,a µm linear unabhängig sind. Wirsehen nun, daß mit Lemma 9.48 auf die Optimalität von x geschlossen werden kann, falls∆ ≥ θ ist. Wir halten dies fest inSchritt 3 Ist ∆ ≥ θ, so ist x eine Lösung von (LOP).STOPIst der Optimalitätstest in Schritt 3 negativ, so versuchen wir eine neue Ecke zu konstruieren.Deren Basisvariablen sollen sich nur in einem Element unterscheiden (Übergang zueiner ”benachbarten“ Ecke/Einzelaustausch).Schritt 4 Bestimme ein r ∈{1,...,n} mit ∆ r < 0.Wegen (9.5) gilt r/∈{µ 1 ,...,µ m } = β.