Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 248muß es k 0 ∈{1,...,l} geben mit= .Also leistet x := x k 0das Gewünschte.Nun können wir das Prinzip des im nächsten Abschnitt zu beschreibenden Simplexverfahrenschon skizzieren: Da das Minimum in einer Ecke angenommen wird, sucht man dasMinimum in einer Ecke. Satz 9.40 liefert uns nun eine obere Schranke für die Anzahl derEcken x von Z, daeshöchstens nur ( ( )nm)Ecken geben kann. Danm sehr schnell großwird, wenn etwa realistischerweise n ∼ 2m gilt, ist das Verfahren, die Zielfunktion in denEcken auszuwerten und ihre Werte zu vergleichen, kein effizientes Vorgehen. Es ist derVorteil der im nächsten Abschnitt zu besprechenden Methode, daß im allgemeinen sehrviel weniger als ( )nm Ecken berechnet werden müssen, ehe eine Lösung gefunden ist.9.6 SimplexverfahrenSatz 9.40 entnimmt man, daß eine Ecke x von Z höchstens m positive Einträge x j habenkann, wenn rg(A) =m gilt.Generelle Annahme: rg(A) =mDefinition 9.44Ein z ∈ Z heißt Basispunkt mit Basisvariablen µ 1 ,...,µ m , falls gilt:a µ 1,...,a µm sind linear unabhängig, z j =0, falls j/∈{µ 1 ,...,µ m }.Die Variablen {j|j /∈{µ 1 ,...,µ m } heißen Nichtbasisvariablen.2Lemma 9.45Es sind äquivalent für z ∈ Z :(a) z ist Ecke.(b) z ist Basispunkt.Beweis:Siehe Satz 9.40.Bei der Definition von Basisvariablen fällt auf, daß nicht behauptet wird, daß Komponentenz j , die zu Basisvariablen gehören, positiv sind. Dies kann man im allgemeinen auchnicht erwarten.Definition 9.46Eine Ecke z ∈ Z heißt entartet , wenn es eine Basisvariable j gibt mit z j =0.2