Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 247induktiv nach r.Wiederum können wir also o.E. annehmen: I(x) ={1,...,r}. Sind a 1 ,...,a r linear unabhängig,so ist x Ecke und wir haben nichts mehr zu zeigen. Seien also a 1 ,...,a r linearabhängig. Dann gibt es α 1 ,...,α r ∈ IR mitr∑r∑α j a j = θ, α 2 j ≠0.j=1j=1Setze für ɛ ∈ IRx(ɛ) :=(x 1 + ɛα 1 ,...,x r + ɛα r , 0,...,0).Da Z konvex abgeschlossen und beschränkt ist, gibt es ɛ 1 < 0,ɛ 2 > 0mit:x(ɛ) ∈ Z für ɛ ∈ [ɛ 1 ,ɛ 2 ],x(ɛ) /∈ Z für ɛ/∈ [ɛ 1 ,ɛ 2 ],x(ɛ 1 ) j = x(ɛ 2 ) j =0,r+1≤ j ≤ n.Dazu gibt es auch l, k ∈{1,...,r} mitx(ɛ 1 ) l = x(ɛ 2 ) k =0.Also gilt #I(x(ɛ 1 )) |z ∈ Z}.Nach Satz 9.42 gibt es α 1 ,...,α l ∈ [0, 1] und Ecken x 1 ,...,x l von Z mitWegenl∑ l∑u = α k x k , α k =1.k=1 k=1min{< c,z>|z ∈ Z} = =l∑α k ≥ min{< c,x k > |1 ≤ k ≤ l}k=1