Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 18“Seit Euklid tragen alle Mathematiker dasselbe Bild der Mathematik in sich: Sie ruht auf einfachenAxiomen, deren Kombinationen gewissen logischen Regeln folgen und es erlauben, andereAussagen zu beweisen. Die Wahrheit breitet sich sozusagen durch Ansteckung aus; sie beginnt beiBasisaxiomen, die als solche anerkannt sind, und reicht bis zu allem, was mit deren Hilfe bewiesenwerden kann, das heißt also, so glaubte man, bis zur Gesamtheit der Mathematik, die unter Ausschlußjeder äußeren Kontingenz auf reiner logischer Notwendigkeit gründet. So ist die Mathematikweder dem Zufall noch der Geschichte unterworfen.Es war Kurt Gödel vorbehalten, 1930 den Beweis zu führen, daß dieses Bild falsch ist. In einemberühmten Theorem (Unvollständigkeitssatz), das im Jahr darauf veröffentlicht wurde, zeigtGödel, daß es in jedem beliebigem System von Axiomen und Regeln (sofern deren Anzahl endlichist) möglich ist, eine Ausage über ganze Zahlen zu formulieren, die innerhalb des betreffendenSystems weder bewiesen noch widerlegt werden kann.“Aus: Ekeland, I., Zufall, Glück und Chaos, Hanser-Verlag,1992K. Gödel (1906 – 1978) wurde in Brünn geboren. 1930 bewies er den Unabhängigkeitssatz – einalternativer Beweis seines Unvollständigkeitssatzes wurde später von G. Chaitin unter Verwendungvon Begriffen aus der Komplexitätstheorie erbracht – und 1938 zeigte er, daß das Auswahlaxiomdurch die anderen ZF–Axiome nicht widerlegt werden kann. P. Cohen fügte 1963 hinzu, daß esdurch die anderen Axiome auch nicht bewiesen werden kann. Diese Entdeckungen Gödels markierendas Ende des “Determinismus“ in der Mathematik, ebenso wie W. Heisenbergs Unschärferelation(1927 formuliert; W. H. 1901 – 1976) den Determinismus in der Physik beendete. Gödel starb inPrinceton an selbstverschuldetem Verhungern.Über die als “Kontinuumshypothese“ bezeichnete Aussage, daß es keine echt zwischen ℵ 0 undc liegende Kardinalzahl gibt, hat K. Gödel einen atemberaubenden Satz bewiesen, der ungefährfolgendes besagt (A bezeichne das starke Ausswahlaxiom, C die Kontinuumshypothese): Wenn dieMathematik ohne die Annahme von A und C widerspruchsfrei ist, so bleibt sie es auch, wenn mandiese Annahme hinzunimmt. Es werden unserer Mathematik also durch die Annahme von A undC keine neuen Fehler hinzugefügt.Rufen wir uns noch die Teilbarkeit in den ganzen Zahlen in Erinnerung.Definition 1.27Seien a, b ∈ ZZ . Wir sagen a teilt b oder a ist ein Teiler von b, falls es k ∈ ZZ gibtmit a · k = b ; wir schreiben dann a|b.2Sei m ∈ IN . Wir verwenden m nun als Äquivalenzmodul, denn damit können wirfolgende Äquivalenzrelation auf ZZ erklären:a ∼ b : ⇐⇒ m|(b − a) :⇐⇒ ∃l ∈ ZZ (b = a + lm) .Dies ergibt eine Zerlegung von ZZ in Äquivalenzklassen: Ist a ∈ ZZ , so entscheidet derRest bei der Teilung von a durch m, welcher Äquivalenzklasse a zugeordnet wird. Da nurm verschiedene Reste auftreten können, liefert dies eine Zerlegung von ZZ in m Äquivalenzklassen.Wir haben alsoZZ m := ZZ /∼ = {[0],...,[m − 1]} .