Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 242erbringen. Vom Rohstoff B l sei die Menge b l verfügbar. Wir wollen vereinfachend annehmen,daß der Markt für die Produkte A 1 ,...,A n unbegrenzt aufnahmefähig ist und daßdie Höhe des Angebots keine Rückwirkung auf die Preise hat. Die Produktionsmenge x kder Ware A k soll nun so festgelegt werden, daß der Gewinn maximal wird. Diese Aufgabeläßt sich mathematisch als Bestimmung eines Maximums der Zielfunktionunter den Nebenbedingungenn∑f(x 1 ,...,x n ):= c k x kk=1n∑a lk x k ≤ b l , 1 ≤ l ≤ m, x k ≥ 0 , 1 ≤ k ≤ n,k=1formulieren. In Matrixschreibweise erhalten wir mitA := (a lk ) 1≤l≤m,1≤k≤n ,c:= (c 1 ,...,c n ) ,b:= (b 1 ,...,b m )unter Verwendung des euklidischen Skalarprodukts < ·, · > die OptimierungsaufgabeMinimiere unter den Nebenbedingungen Ax ≤ b, x≥ θ.Dabei verstehen wir die Symbole “≤ “ und “≥“ bei Vektoren komponentweise (sieheAbschnitt 9.4). Die Aufgabe heißt linear, da sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungendurch lineare Abbildungen beschrieben werden. Klar, die zulässige MengeZ ad := {x ∈ IR n |Ax ≤ b, x ≥ θ}ist ein (konvexes) Polyeder.Die obige Optimierungsaufgabe läßt sich geometrisch interpretieren. Betrachte dazu folgendeskonkreteBeispiel 9.36Sei m := 3,n := 2 und seien A, b, c gegeben durch⎛⎞10 5⎜A := ⎝ −2 −1−200 −400⎟⎠ ,b:=⎛⎜⎝50−6−1000⎞⎟⎠ ,c:= ( −10, −20 ) .Das Polyeder der zulässigen Menge wird im 1. Quadranten IR 2 + begrenzt durch die Geraden10x +5y =50, 2x + y =6, 200x + 400y = 1000Durch die Zielfunktion ist die Geradenschar−10x − 20y = amit dem Scharparameter a definiert. Diejenige Gerade dieser Schar, die für die Punkte(x, y) des zulässigen Polyeders einen minimalen Parameter a besitzt, liefert die (eine)