Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 241Es gilt dann Cx = θ und Bx = θ, also Ax = θ. Schließlich ist auch x + A t y ∈ IR n + nachKonstruktion von y und Definition von x.Als Folgerung erhalten wir das sogenannte Lemma von Farkas.Lemma 9.35Sei A ∈ IR m,n ,b∈ IR m . Dann sind äquivalent:(a) Ax = b hat eine Lösung x ∈ IR n + .(b) A t y ∈ IR n + impliziert ≥ 0.Beweis:(a) =⇒ (b)Sei A t y ∈ IR n + . Es folgt = = ≥ 0.(b) =⇒ (a)Sei B := (A|b). Nach Satz 9.34 gibt es x ′ ∈ IR n+1+ ,y ∈ IR m mitx ′ + B t y ∈ IR n > ,Bx′ = θ, B t y = θ.Da A t y = θ ist, folgt aufgrund von (b) ± ≥ 0, also = 0. Damit istx ′ n+1 > 0 und o.E. können wir x ′ n+1 = 1 annehmen. Also ist x ′ =(x, 1) und wir habenAx − b = Bx ′ = θ.Das obige Lemma geht zurück auf eine Arbeit von J. Farkas zur “Theorie der einfachen Ungleichungen“(1902). Allerdings war es in Grundzüugen schon in einer Arbeit (1836) von J.B. Fourier(1768 – 1830) vorhanden.Kommen wir nun zu Aufgabenstellungen, wo lineare Ungleichungenen wesentlich Eingangfinden. Es ist dies die lineare Optimierung. Hier haben wir es mit einer Optimierungsaufgabezu tun, in der eine lineare Funktion (Zielfunktion) über einem Polyeder(zulässiger Bereich) zu minimieren/maximieren ist. Es handelt sich hier um eine Aufgabe,bei der sowohl die Zielfunktion als auch der zulässige Bereich konvex ist.Da nämlich die Einrichtung der ganzen Welt die vorzüglichste ist und da sie von dem weisestenSchöpfer herstammt, wird nichts in der Welt angetroffen, woraus nicht irgendeine Maximum– oderMinimumeigenschaft hervorleuchtet. Deshalb kann kein Zweifel bestehen, daß alle Wirkungen derWelt ebenso durch die Methode der Maxima oder Minima wie aus den wirkenden Ursachen selbstabgeleitet werden können.L. Euler (Frei übersetzt aus “Commentationes Mechanicae“).Betrachten wir ein Problem der optimalen Produktionsplanung.Ein Unternehmer produziert n Produkte A 1 ,...,A n , zu deren Herstellung m verschiedeneRohstoffe B 1 ,...,B m benötigt werden. Das Produkt A k enthalte a lk Anteile des RohstoffesB l und möge beim Verkauf pro Einheit einen Reingewinn von c k Zahlungseinheiten