Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 2399.4 Lineare Ungleichungen *Wir betrachten hier lineare Ungleichungen in IR n .Dazubenötigen wirBezeichnungen :IR n + := {x ∈ IR n | x i ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n},IR n > := {x ∈ IR n | x i > 0, 1 ≤ i ≤ n}.Orthogonale Komplemente sind stets bezüglich des euklidischen Skalarprodukts < ·, · >:= 2 gebildet. Beachte auch, daß der algebraische (stetige) Dualraum von IR n vermögedes euklidischen Skalarprodukts mit IR n identifiziert werden kann.Lemma 9.32Sei U ein linearer Teilraum von IR n mit U ∩ IR n + = {θ}. Dann gilt U ⊥ ∩ IR n > ≠ ∅.Beweis:Annahme: U ⊥ ∩ IR n > = ∅.Da U ⊥ + IR n > =⋃ w + IR n > gilt, ist K := U ⊥ + IR n > offen. Offenbar ist K auch konvex.w∈U ⊥Wegen U ⊥ ∩ IR n > = ∅, ist θ/∈ K. Nach Satz 9.27 gibt es x ∈ IR n > \{θ} mitDaraus folgt0 ≤ inf{< y,x>|y ∈ U ⊥ + IR n > }. (9.3)0 ≤ inf{< y,x>|y ∈ U ⊥ }wegen der Stetigkeit von < ·, · >.Wegen −U ⊥ = U ⊥ und θ ∈ U ⊥ folgtsup{| ||y ∈ U ⊥ } =sup{< y,y>|y ∈ U ⊥ } = − inf{< −y, x > |y ∈ U ⊥ }≤0.Dies zeigt x ∈ (U ⊥ ) ⊥ = U. Nun folgt aus (9.3) auchund aus Stetigkeitsgründen0 ≤ inf{< u,x>|u ∈ IR n >}0 ≤ ,1 ≤ i ≤ n,also x ∈ IR n + . Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung, da x ∈ U ∩ IR n + \{θ}.Satz 9.33Sei A ∈ IR m,n . Dann sind äquivalent:(a) Es gibt x ∈ IR n >mit Ax = θ.(b) Es gibt kein y ∈ IR nBeweis:(a) =⇒ (b)Es folgt aus y ∈ IR nmit A t y ∈ IR n + \{θ}.mit A t y ≥ θ stets = =0. Da x ∈ IR n > ist, ist