Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 2381. p(θ) =0,p(x) ≥ 0 ∀x ∈ X;2. p(rx) =rp(x) ,r ≥ 0,x∈ X;3. p(x + y) ≤ p(x)+p(y) ∀x, y ∈ X;4. p(v) ≥ 1 ∀v ∈ X\Z, p(z) ≤ 1 ∀z ∈ Z.(1 ) und (4) sind sofort einzusehen, (2) folgt aus der Definition von p, (3) folgt so:Sei ɛ>0,s := p(x) + ɛ 2 ,t := p(y) + ɛ 2 . Da s>p(x),t > p(y) ist, gilt s−1 x, t −1 y ∈ Z.Wegen der Konvexität von Z folgt dann(s + t) −1 (x + y) =(s + t) −1 (s(s −1 x)+t(t −1 y)) ∈ Z,also, dank p((s + t) −1 (x + y)) ≤ 1, schließlichp(x + y) = (s + t)(p((s + t) −1 (x + y)))≤ (s + t) =p(x)+p(y)+ɛ.Da ɛ>0 beliebig war, folgt die Aussage (4).Also ist p ein sublineares Funktional. Definiere auf U := L({u 0 }) das lineare FunktionalWir erhalten für a ∈ IRAlso gibt es nach Satz 9.27 ein λ ∈ X ′ mitDaraus folgt für z ∈ Z :µ : U ∋ αu 0 ↦−→ αp(u 0 ) ∈ IR . ≤ max(0,ap(u 0 )) ≤ p(au 0 ).λ| U = µ, < λ, x > ≤ p(x) ∀x ∈ X.≤ p(z) ≤ 1 ≤ p(u 0 )= = .Damit ist insbesondere λ ≠ θ und für u ∈ K, v ∈ A folgt≤ 1, d.h ≤ .Insbesondere haben wir≤ α := inf v∈Afür u ∈ B r (x 0 ). Dies zeigt λ ∈ X ∗ .Bemerkung 9.31Das im Beweis von Satz 9.30 aufgeführte Funktionalp(x) :=inf{t >0|t −1 x ∈ Z} ,x∈ Xheißt das Minkowskifunktional (der Menge Z). 2