Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 237Satz 9.28Sei X ein normierter IR −Vektorraum, sei U ⊂ X ein linearer Teilraum und seiµ : U −→ IR linear und stetig. Dann gibt es λ ∈ X ∗ mitλ| U = µ, ‖λ‖ ∗ =sup{| |u ∈ U}.Beweis:Sei α := sup{| ||u ∈ U}. Setze p(x) :=α‖x‖,x ∈ X. Nach Satz 9.27 gibt esλ ∈ X ′ mitλ| U = µ, < λ, x > ≤ p(x) ∀x ∈ X.Es gilt− =< λ,−x >≤ p(−x) =p(x) ,x∈ X.Also haben wir| |≤α‖x‖ ,x∈ X.Dies zeigt zusammen mit Satz 8.16 die Stetigkeit von λ und schließlich auch‖λ‖ ∗ = α.Folgerung 9.29Sei X normierter Vektorraum und sei x 0 ∈ X\{θ}. Dann gibt es λ ∈ X ∗ mit≠0.Beweis:U := L({x 0 }),µ: U ∋ αx 0 ↦−→ α ∈ IR . Wende nun Satz 9.28 an.Eine geometrische Version des Satzes von Hahn-Banach istSatz 9.30Sei X ein normierter IR −Vektorraum, seien A, K ⊂ X konvex und sei K ◦ ≠ ∅.Dann gibt es λ ∈ X ∗ \{θ} und α ∈ IR mitsup ≤ α ≤ inf u∈Kv∈ABeweis:Sei x 0 ∈ K ◦ und sei B r (x 0 ) ⊂ K. Sei u 0 ∈ A beliebig. SetzeZ := u 0 + K − A.Klar, Z ist konvex, u 0 /∈ Z, und B r (x 0 ) ⊂ Z. (Beachte θ ∈ U 0 − A.)Definierep(x) :=inf{t >0|t −1 x ∈ Z} ,x∈ X.Da zu beliebigem x ∈ X stets ein t>0existiertmitt −1 x ∈ B r (x 0 ) ⊂ K ⊂ Z, ist pwohldefiniert. Ferner gilt: