Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 236Entsprechend gilt für b−p(−b −1 x − z))= p(x + bz)Folglich gilt≤ p(w) für alle w ∈ W.Satz 9.27Sei X IR – Vektorraum und sei p ein sublineares Funktional auf X. Sei U ⊂ X einlinearer Teilraum und sei µ : U −→ IR linear. Es gelteDann gibt es λ ∈ X ′ mit≤ p(u) für alle u ∈ U.λ| U = µ, < λ, x > ≤ p(x) für alle x ∈ X.Beweis:Wir sagen, daß (W, ν) zur Menge Z gehört, wenn gilt:W ist linearer Teilraum von X mit U ⊂ W,ν : W −→ IR ist linear und ν| U = µ, < ν,w >≤ p(w) ∀w ∈ W.Wir erklären auf der so definierten Menge Z eine Halbordnung durch(W, ν) < (W ′ ,ν ′ ):⇐⇒ W ⊂ W ′ ,ν ′ | W = ν.Ist (W i ,ν i ) i∈I eine Kette, d.h. je zwei Elemente der Familie (W i ,ν i ) i∈I sind mit “, falls x ∈ W i .Aus der Ketteneigenschaft erhalten wir, daß W ein linearer Teilraum von X ist und daßµ eine wohldefinierte lineare Abbildung auf W ist. Offensichtlich ist also (W,µ) ∈ Z eineobere Schranke der Kette, d.h.(W i ,µ i ) < (W,µ) für alle i ∈ I.Nach dem Zornschen Lemma hat Z ein maximales Element, d.h. es gibt (Ŵ,λ) ∈ Z mit(W, µ) ∈ Z, (Ŵ,λ) < (W, µ) =⇒ Ŵ = W, λ = µ.Daraus folgt mit Lemma 9.26 W = X.Das lineare Funktional λ hat also die gewünschte Eigenschaft.