Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 233Sei < ·, · > 2 das euklidische Skalarprodukt und sei ‖·‖ 2 die euklidische Norm in IR n bzw.IR m .Definition 9.22Ein x 0 ∈ IR n,1 heißt Pseudolösung (Ausgleichslösung) von (9.1), falls gilt:‖Ax 0 − y‖ 2 =inf{‖Ax − y‖ 2 |x ∈ IR n,1 }.2Satz 9.23(a) Eine Pseudolösung von (9.1) existiert.(b) x 0 ∈ IR n,1 ist Pseudolösung genau dann, wenngilt.Beweis:Da für eine Pseudolösung x 0A t Ax 0 = A t ydist(y,Bild(A)) = inf{‖Ax − y‖ 2 |x ∈ IR n } = ‖Ax 0 − y‖ 2 ,gilt, folgt die Aussage aus Satz 9.17 und Folgerung 9.19.Die GleichungA t Ax 0 = A t y (9.2)nennt man Normalgleichung zu Gleichung (9.1). Die Eindeutigkeit einer Pseudolösungist im allgemeinen nicht gegeben, da die Normalgleichung nur dann eindeutig lösbar ist,wenn det(A t A) ≠ 0 gilt.Ein allgemeines Problem experimenteller Arbeit besteht darin, eine mathematische Beziehungy = f(x) zwischen zwei Variablen x und y zu bestimmen, die die in unterschiedlichen,in Versuchen ermittelten Wertepaare(t 1 ,y 1 ),...,(t n ,y n )möglichst gut beschreibt. Setzt man f etwa als Polynom zweiten Grades an, so hat mandrei Konstanten (a, b, c) zu bestimmen. Dazu kann man die Ausgleichslösung der Gleichungf(a, b, c; t i )=y i , 1 ≤ i ≤ n,heranziehen. Man nennt das so skizzierte Vorgehen Ausgleichsrechnung oder Methodeder kleinsten Quadrate.