Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 230Satz 9.17Sei (X, σ) reeller Hilbertraum und sei C ⊂ X konvex, abgeschlossen, ≠ ∅, und seix ∈ X\C. Dann gibt es genau ein x 0 ∈ C mitundesgiltdist(x, C) :=inf{‖u − x‖ σ | u ∈ C} = ‖x 0 − x‖ σσ(x 0 − x, u − x 0 ) ≥ 0 , sup σ(u, x 0 − x) >σ(x, x 0 − x) .u∈CBeweis:Sei a := inf{‖u − x‖ σ |u ∈ C}. Da C abgeschlossen ist, ist a>0. Dazu gibt es eine Folge(u n ) n∈IN mit u n ∈ C, n ∈ IN , und lim ‖u n − x‖ σ = a. Sei ɛ>0. Aus der Identitätn∈IN‖u n − u m ‖ 2 σ =2‖u n − x‖ 2 σ +2‖u m − x‖ 2 σ − 4‖ 1 2 (un + u m ) − x‖ 2 σund 1 2 (un + u m ) ∈ C für alle n, m ∈ IN folgt die Existenz von N ∈ IN mit‖u n − u m ‖ 2 σ ≤ 2(a 2 + ɛ)+2(a 2 + ɛ) − 4a 2 ,n,m≥ N.Dies zeigt, daß (u n ) n∈IN eine Cauchyfolge in (X, ‖·‖ σ ) ist. Also gibt es x 0 ∈ X mitx 0 = lim u n . Da C abgeschlossen ist, gilt x 0 ∈ C. Aus der Stetigkeit der Normabbildungn∈INfolgta = lim ‖u n − x‖ σ = ‖x 0 − x‖ σ .n∈INZur Eindeutigkeit von x 0 . Sei x 1 ∈ C mitDann folgtdist(x, C) =‖x 0 − x‖ σ = ‖x 1 − x‖ σ = a.‖x 0 − x 1 ‖ 2 σ =2‖x0 − x‖ 2 σ +2‖x0 − x‖ 2 σ − 4‖1 2 (x0 + x 1 ) − x‖ 2 σ ≤ 2a2 +2a 2 − 4a 2 =0.Dies zeigt x 0 = x 1 .Sei u ∈ C. Für t ∈ (0, 1] betrachte x 0 + t(u − x 0 )=tu +(1− t)x 0 ∈ C. Damit gilt‖x 0 + t(u − x 0 ) − x‖ 2 σ ≥‖x 0 − x‖ 2 σ ,t∈ (0, 1],oder2σ(x 0 − x, u − x 0 )+t‖u − x 0 ‖ 2 σ ≥ 0,t∈ (0, 1] .Grenzübergang t → 0 liefert die Behauptung σ(x 0 − x, u − x 0 ) ≥ 0für alle u ∈ C.DerRestderAussagefolgtausσ(u, x 0 − x) ≥ σ(x 0 − x, x 0 )= σ(x 0 − x, x 0 − x)+σ(x 0 − x, x)= a 2 + σ(x 0 − x, x).