Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 228und wir haben eine Darstellung von x als Konvexkombination durch k − 1 Vektoren, da∑(a i + qb i ) = 1 und daher a i + qb i ∈ [0, 1], 1 ≤ i ≤ k, gilt.i≠jDer obige Satz 9.12 wird Satz von Carathéodory genannt. An einem Dreieck in derEbene kann man ihn sich gut veranschaulichen. Etwa erhält man den Schwerpunkt x einesDreiecks mit den EndpunktenP 1 : a 1 ,P 2 : a 2 ,P 3 : a 3(Koordinaten a i bzgl. der Standardbasis) alsx = 1 3 a1 + 1 3 a2 + 1 3 a3(Je nach Betrachtungsweise, kann man dies auch als definierende Gleichung für denSchwerpunkt ansehen.)Aus dem Satz von Carathéodory schließt man sehr einfach, daß co(A) beschränkt (kompakt)ist, falls A beschränkt (kompakt) ist.Jede konvexe MengeK = co({x 1 ,...,x k })in einem IR – Vektorraum X wird ein konvexes Vielflach in X genannt.Beispiel 9.13D aus Beispiel 9.11 ist ein konvexes Vielflach.Definition 9.14Sei X ein IR – Vektorraum und seien x 0 ,...,x k ∈ X affin linear unabhängig. Dannnennen wir das VielflachΣ(x 0 ,...,x k ):=co({x 0 ,...,x k })einen k –Simplex.2Ist K eine Teilmenge des IR – Vektorraums X, dann gibt es einen kleinsten affinen TeilraumA (bzgl. der Inklusion) mit K ⊂ A; man nennt dieses A affine Hülle von K. AlsDimension können wir dann K dieaffineDimensionderaffinenHülle von K zuweisen.