Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 227Folgerung 9.10Sei X IR – Vektorraum und seien A 1 ⊂ A 2 ⊂ X. Dann gilt co(A 1 ) ⊂ co(A 2 ) .Beweis:Trivial mit Folgerung 9.9.Beispiel 9.11Wir betrachten die Menge S := {(e σ(1) | ...|e σ(n) ) ∈ IR n,n |σ ∈S n }Wir wissen #S = n! . SetzeD := co(S).Man rechnet nach, daß für eine Matrix D =(d ij ) ∈Dgilt:n∑ n∑d kj = d ik =1,d ij ≥ 0 , 1 ≤ i, j ≤ n.k=1 k=1Die Matrizen in D nennt man doppeltstochastische Matrizen. 2Satz 9.12Sei X ein n−dimensionaler IR – Vektorraum, sei A ⊂ X, A ≠ ∅. Dann gilt{co(A) = x =m∑a i x i |i=1}m∑a i =1,x i ∈ A, a i ∈ [0, 1], 1 ≤ i ≤ m, m≤ n +1i=1Beweis:O.E. sei X = IR n .∑Sei K := {x = m a i x i |x i ∑∈ A, a i ∈ [0, 1], 1 ≤ i ≤ m, m a i =1,m≤ n +1}.i=1∑Sei x ∈ co(A), d. h. x = k a i x i ,x i ∑∈ A, a i ∈ A, a i ∈ [0, 1], 1 ≤ i ≤ k, und k a i =1. Isti=1k ≤ n +1, ist x ∈ K und nichts ist mehr zu zeigen. Sei ( also nun k>n+1. Da dim X = nx1... xund k>n+ 1 ist, ist rg(M) ≤ n +1, wobei M :=k )∈ IR n+1,k ist. Also1 ... 1gibt es b 1 ,...,b k ∈ IR miti=1i=1k∑b i x i = θ,i=1k∑b i =0,i=1k∑b 2 i ≠0.i=1SetzeQ := {q ∈ IR |qb i + a i ≥ 0, 1 ≤ i ≤ k}Q ist abgeschlossen, nichtleer, da 0 ∈ Q, und verschieden von IR, da nicht alle b i verschwinden.Sei q ∈ Q, sodaß qb j +a j =0für mindestens ein j ∈{1,...,k} ist. Ein solchesq existiert, da Q ≠ IR und Q abgeschlossen ist. Dann istk∑k∑k∑x = a i x i + q b i x i = i + qb i )xi=1i=1 i=1(a i = ∑ (a i + qb i )x ii≠j