Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 226Es ist unmittelbar klar, daß jedes Polyeder und jedes Polytop konvex ist.Beispiel 9.6Sei X IR −Vektorraum und sei A ⊂ X. SetzeA ′ := {λ ∈ X ′ | ≤ 1für alle u ∈ A}.Dann ist A ′ eine konvexe Teilmenge von X ′ .A ′ heißt die zu A polare Menge. 2Lemma 9.7Sei (X, ‖·‖) normierter IR – Vektorraum und sei K ⊂ X konvex. Dann ist auchK(ɛ) :=K + B ɛ (θ) :={u ∈ X|∃x ∈ K(‖u − x‖ ≤ɛ} ,Abschluß von K und das Innere von K konvex.Beweis:TrivialIst eine Teilmenge A eines IR – Vektorraumes X nicht konvex, so kann man versuchen,eine ”kleinste“ (im Sinne der Inklusion) konvexe Menge K zu finden, die A enthält. Dader Raum X sicherlich konvex ist, macht dies Sinn.Definition 9.8Sei X ein IR – Vektorraum und sei A ⊂ X. Die MengeK := ⋂ {C | C ⊃ A, C konvex}heißt konvexe Hülle von A. Wir schreibenK = co(A).2Eine naheliegende Verallgemeinerung der Regel (a) aus Lemma 9.3 für beliebige Durchschnittebelegt, daß co(A) stets konvex ist.Folgerung 9.9Sei X IR – Vektorraum, A ⊂ X. Dann giltn∑n∑co(A) ={x ∈ X|x = a i u i ,u 1 ,...,u n ∈ A, a 1 ,...,a n ∈ [0, 1], a i =1,n∈ IN }i=1i=1Beweis:∑Sei K := {x ∈ X|x = n a i u i ,u 1 ,...,u n ∑∈ A, a 1 ,...,a n ∈ [0, 1], n a i =1,n∈ IN } .i=1i=1K ist offenbar konvex und A ist in K enthalten. Daraus folgt sofort co(A) ⊂ K. Ist x ∈ K,dann ist offenbar x ∈ co(A). Also gilt co(A) =K.