Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Kapitel 9Konvexität und lineare OptimierungKonvexe Mengen tauchen ganz natürlich auf in der Geometrie, spielen eine fundamentaleRolle in der Analysis und gestatten es, Probleme in Anwendungen zu beschreiben undzu klassifizieren. Wir stellen die Ergebnisse bereit, die uns helfen, lineare Ungleichungssystemezu studieren und zu lösen. Einen großen Raum nimmt das Simplexverfahren ein.9.1 KonvexitätDefinition 9.1Sei X ein IR −Vektorraum, sei M ⊂ X, x, y ∈ X.(a) Jeder Vektor z ∈ X mit z = y + a(x − y) =ax +(1− a)y, a ∈ [0, 1], heißtKonvexkombination von x, y.(b) M heißt konvex, falls für alle x, y ∈ M und a ∈ [0, 1] ax +(1− a)y ∈ Mgilt.2Klar, jeder lineare Teilraum und jeder affine Unterraum eines IR – Vektorraums ist konvex.Beispiel 9.2Sei (X, ‖·‖) normierter IR – Vektorraum. Die offenen Kugelnund die abgeschlossenen KugelnB 0 r (x 0 ):={x ∈ X|‖x − x 0 ‖