Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 219Definition 8.54Sei X ein IR −Vektorraum und sei q : X −→ IR eine Abbildung. Wir nennen qeine quadratische Form auf X, falls es eine symmetrische Bilinearform T auf Xgibt, sodaßq(x) =T (x, x) ,x∈ X,gilt.2In der Definition 8.54 bestimmt T die quadratische Form q. Man kann aber T auch aus qzurückgewinnen:2T (x, y) =q(x + y) − q(x) − q(y),x,y∈ X.Für eine quadratische Form giltq(θ) =0,q(−x) =q(x),q(ax)=a 2 q(x),a∈ IR,x∈ X,undq(x + y)+q(x − y) =2q(x)+2q(y),x,y ∈ X.Definition 8.55Sei q eine quadratische Form auf dem IR – Vektorraum X und sei M ⊂ X. Wirnennen q(a) positiv definit auf M : ⇐⇒ q(x) > 0,x∈ M\{θ}.(b) positiv semidefinit auf M : ⇐⇒ q(x) ≥ 0,x∈ M.(c) negativ definit auf M : ⇐⇒ q(x) < 0,x∈ M\{θ}.(d) negativ semidefinit auf M : ⇐⇒ q(x) ≤ 0,x∈ M.(c) semidefinit auf M : ⇐⇒ q ist positiv semidefinit oder q ist negativ semidefinitauf M.2Definition 8.56Sei T eine Bilinearform auf dem IR −Vektorraum X und sei x 1 ,...,x n ∈ X eineBasis in X. Wir nennen x 1 ,...,x n eine Orthogonalbasis, fallsT (x i ,x j )=0, für i ≠ j,gilt.2