Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 218Satz 8.53Sei (X, σ) ein n - dimensionaler euklidischer Vektorraum und sei L : X −→ X einelineare Isometrie. Dann exisitiert eine Orthonormalbais x 1 ,...,x n in X, bezüglichder die Matrixdarstellung von L die FormA L = diag(D(γ 1 ),...,D(γ r ), 1,...,1, −1,...,−1)mit γ 1 ,...,γ r ∈ IR hat. Hierbei ist( )cos γi − sin γD(γ i )=i∈ IR 2,2 , 1 ≤ i ≤ r.sin γ i cos γ iBeweis:Vollständige Induktion nach n.n =1:HieristL = id X oder L = −id X und nichts ist mehr zu beweisen.n>1:Setze H := L + L ∗ = L + L −1 .Hist symmetrisch. Also gibt es λ ∈ IR ,x ∈ X\{θ} mitH(x) =λx. Es folgtL(x)+L −1 (x) =λx, L 2 (x) =−x + λL(x).Setze U := L({x, L(x)}). Es gilt offenbar 1 ≤ dim U ≤ 2,L| U : U −→ U Isometrie undL(U) =U, da L bijektiv ist. Daraus folgt:dim U ⊥ ≤ n − 1,L(U ⊥ )=U ⊥ ,L| U ⊥ : U ⊥−→ U ⊥ ist Isometrie.Also hat nun L| U eine Orthonormalbasis der behaupteten Form. Bei dim U = 1 folgt diesaus der Betrachtung ( von n ) =1, bei dim U = 2 ist die Vorüberlegung in Beispiel 8.520 −1anwendbar, da det= 1 gilt.1 λAnwendung der Induktionsvoraussetzung auf L| U ⊥ liefert eine Orthonormalbasis in U ⊥der gewünschten Form.Die Matrix A L aus Satz 8.53 heißt Normalform der zugehörigen Drehung L.8.5 QuadrikenWir beschäftigen uns hier nochmals mit Bilinearformen auf reellen Vektoräumen. JedesSkalarprodukt kann als Beispiel dienen.Sei T ∈T 2 (X),XIR – Vektorraum. Aus der Zerlegung2T (x, y) =(T (x, y)+T (y, x)) + (T (x, y) − T (y, x))liest man ab, daß man jede Bilinearform als Summe einer symmetrischen Bilinearform undeiner antisymmetrischen Bilinearform schreiben kann. (Würde man hier einen allgemeinenSkalarkörper IK verwenden, müßte man auf char(IK ) ≠ 2 achten.) Wir wollen uns imfolgenden nun auf symmetrische Bilinearformen beschränken.