Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 217Folgerung 8.50Sei (X, σ) ein n–dimensionaler euklidischer Vektorraum und sei T : X × X −→ IReine symmetrische Bilinearform. Dann gibt es eine Orthonormalbasis x 1 , ..., x n in X,bezüglich der die Bilinearform σ und T Matrixdarstellungen B σ ,B T der folgendenGestalt besitzen:B σ = diag(1,...,1) ,B T = diag(λ 1 ,...,λ n ).Dabei sind λ 1 ,...,λ n die Eigenwerte des Endomorphismus L mitT (x, y)=σ(x, L(y))für alle x, y ∈ X.Beweis:Wir wissen aus Satz 8.22, daß es genau ein L ∈ Hom(X, X) gibt mitT (x, y)=σ(x, L(y)) für alle x, y ∈ X.Dieses L ist sogar symmetrisch, da T eine symmetrische Bilinearform ist. Wähle nun nachSatz 8.49 eine Orthonormalbasis x 1 ,...,x n in X. Damit verifiziert man die Aussagen desSatzes.Der Sachverhalt in obiger Folgerung wird als simultane Diagonalisierbarkeit zweier Bilinearformenbezeichnet. Man nennt die Aussage auch Satz über die Hauptachsentransformation.Das Ergebnis aus Satz 8.49 ist die Tatsache, daß symmetrische Matrizendiagonalisierbar sind (mit Hilfe orthogonaler Matrizen).Bemerkung 8.51Auf dem Raleigh-Quotienten baut ein Verfahren zur Berechnung des größten Eigenwertesvon L auf. Man kann zeigen, daßσ(x, L k (x))λ + = limk→∞ σ(x, L k−1 (x)) ,x L k x+ = limk→∞ ‖L k x‖ σgilt, wenn x nicht orthogonal zu x + ist (Verfahren von Mises). 2Beispiel 8.52Ist L eine lineare Isometrie in einem euklidischen Vektorraum der Dimension 2, dannist L ◦ L ∗ = L ∗ ◦ L = id und det(L) =1oderdet(L) =−1. Daraus folgt, daß L eineMatrixdarstellung der Form( )cos γ − sin γA L =sin γ cos γhat, falls det(L) =1ist. 2