Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 215Definition 8.47Sei (X, σ) euklidischer Vektorraum und sei L : X −→ X linear. L heißt symmetrisch(bezüglich der Bilinearform σ), falls σ(T (x),y)=σ(x, T (y)) für alle x, y ∈ Xgilt.2Satz 8.48Sei (X, σ) ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. Sei L : X −→ Xlinear und symmetrisch (bezüglich der Bilinearform σ). Dann gilt:(a) Es gibt x + ,x − ∈ X mit ‖x + ‖ σ = ‖x − ‖ σ =1undλ + := R L (x + )= max R L(x) ,λ − = R L (x − )= min R L(x).x∈X\{θ} x∈X\{θ}(b) L(x + )=λ + x + ,L(x − )=λ − x −(c) Für jeden Eigenwert λ ∈ IR von L gilt λ + ≤ λ ≤ λ −Beweis:Zu (a) :Wir zeigen, daß R L auf S(X) :={x ∈ X|‖x‖ σ =1} stetig ist. Seien u, v ∈ S(X).|R L (u) − R L (v)| = |σ(u, L(u)) − σ(v,L(v))|≤ |σ(u, L(u)) − σ(u, L(v))| + |σ(u, L(v)) − σ(v,L(v))|≤ ‖u‖ σ ‖L(u − v)‖ σ + ‖u − v‖ σ ‖L(v)‖ σ≤ 2c‖u − v‖ σ .Dabei ist c so gewählt, daß ‖L(x)‖ σ ≤ c‖x‖ σ für alle x ∈ X gilt (siehe Satz 8.16). Alsofolgt nun die Existenz der Extrema von R L wie in (a) behauptet.Zu (b) :Betrachte zu x ∈ X die Funktion f(t) :=R L (x + + tx),t∈ IR . Dagilt, gibt es t 0 > 0mit‖x + + tx‖ σ ≥‖x + ‖ σ −|t|‖x‖ σ =1− t‖x‖ σ‖x + + tx‖ σ > 0 ,t∈ (−t 0 ,t 0 ).Also ist f auf (−t 0 ,t 0 ) definiert, ja sogar differenzierbar, da f eine rationale Funktion ist.Nach Konstruktion von x + hat f in t = 0 ein lokales Maximum. Also gilt f ′ (0) = 0.Dies bedeutetDa x ∈ X beliebig war, folgt0 = σ(L(x + ),x) − σ(x + ,L(x + ))σ(x + ,x)= σ(L(x + ) − σ(x + ,L(x + ))x + ,x).L(x + )=σ(x + ,L(x + ))x + .