Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 214Satz 8.45Sei (X, σ) ein euklidischer (unitärer) Vektorraum und seien x 1 ,...,x n ∈ X. Dannsind x 1 ,...,x n linear unabhängig genau dann, wenn det Γ(x 1 ,...,x n ) ≠0ist.Beweis:Seien x 1 ,...,x n n∑∈ X linear abhängig. Sei a i x i ∑= θ, n |a i | 2 ≠0. Dann gilt mit demi=1i=1Vektor⎛a :=⎜⎝⎞a 1⎟. ⎠a n∈ IKn,1Γ(x 1 ,...,x n )a = θ und daher det Γ(x 1 ,...,x n )=0.Sei det Γ(x 1 ,...,x n )=0. Dann sind die Spalten von Γ(x 1 ,...,x n ) linear abhängig, etwaDer Vektor x := x n − n−1 ∑j=1σ(x j ,x n )=n−1 ∑i=1b i σ(x j ,x i ) , 1 ≤ j ≤ n.b j x j ist orthogonal zu jedem der Vektoren x 1 ,...,x n und folglichzu jedem Vektor aus L({x 1 ,...,x n }), also auch zu x ∈L({x 1 ,...,x n }). Dies zeigt x = θ,d.h. x n = n−1 ∑b j x j .j=18.4 Symmetrische EndomorphismenDefinition 8.46Sei (X, σ) euklidischer Vektorraum und sei L : X −→ X linear. Der AusdruckR L (x) :=σ(x, L(x))σ(x, x)heißt Raleigh–Quotient von x ∈ X\{θ}.2Die Bedeutung ist sehr schnell einzusehen. Für einen Eigenwert λ ∈ IR mit Eigenvektorx gilt nämlich R L (x) =λ.Wir wollen den Spieß umdrehen und Eigenwerte und Eigenvektoren mit Hilfe von R Lkonstruieren.Wir benötigen dazu hier, daß der zugrundeliegende euklidische Raum endlichdimensionalist in zweifacher Hinsicht: Die Menge S(X) :={x ∈ X|‖x‖ σ =1} ist dann kompakt undL ist stetig.