Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 212da wegen L ∈O(X, σ) σ(z,L(x)+x) =σ(L(x)−x),L(x)+x) =σ(L(x),L(x))−σ(x, x)=0. Dies zeigt S ◦ L(x) =x. Daraus folgt nun S ◦ L(L({x}) ⊥ )=L({x}) ⊥ so:Sei u ∈L({x}) ⊥ ) und S ◦ L(u) =ax + v,a ∈ IK ,v ∈L({x}) ⊥ ). Es folgt mit Folgerung8.40u =(S ◦ L) ∗ ◦ (S ◦ L)(u)und daher0 = σ(u, x)= σ((S ◦ L) ∗ ◦ (S ◦ L)(u),x)= σ((S ◦ L)(ax + v), (S ◦ L)(x))= σ(ax + v,x)= aσ(x, x)+σ(v,x)= aσ(x, x) .Da offenbar S ◦ L auch injektiv ist, ist S ◦ L sogar bijektiv.Mit der Induktionsvoraussetzung folgt die Existenz von Spiegelungen S ′ 1 ,...,S′ k−1 ,k−1 ≤n − 1, mit S ◦ L| L({x}) ⊥ = S ′ k−1 ◦···◦S′ 1 . Seien S′ i Spiegelungen an z i, 1 ≤ i ≤ k − 1. SeienS i := sp zi , 1 ≤ i ≤ k − 1, die zugehörigen Spiegelungen im Raum X. Es folgtS ◦ L(x) =x = S k−1 ◦···◦S 1 (x),da z i ∈L({x}) ⊥ , 1 ≤ i ≤ k − 1. Daraus folgt S ◦ L = S k−1 ◦···◦S 1 . Wegen S ◦ S = idfolgt nunL = S ◦ S k−1 ◦···◦S 1 .Beispiel 8.42Als ein Beispiel für Satz 8.41 betrachten wir etwa die lineare Isometrie A ∈SO(2), dieeine Drehung um den Winkel π/2 bewirkt:( )0 −1A =1 0Der Satz 8.41 besagt, daß es Spiegelungen S 1 ,S 2 gibt, die hintereinanderausgeführt dieselbeWirkung haben.Eine Analyse des Beweises zu Satz 8.41 zeigt, daß etwa mit z := Ax−x, x := e 1 , eine ersteSpiegelungsachse gefunden ist (Spiegelung an der Geraden {u ∈ IR 2 | 2 =0}). Eineweitere Spiegelungsachse ist die Koordinatenachse zu e 2 , da sie gerade L({x}) ⊥ darstellt.2Damithabenwirnunallelängentreuen Transformationen kennengelernt:Translation, Drehung, Spiegelung