Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 211Folgerung 8.40Sei (X, σ) ein endlichdimensionaler euklidischer (unitärer) Vektorraum und sei L ∈O(X, σ) bzw. L ∈U(X, σ). Dann giltL ∗ ◦ L = L ◦ L ∗ = id X , | det(L)| =1,und ist A L eine Matrixdarstellung von L bezüglich der Orthonormalbasis zu L, danngiltA t A = AA t = E.Beweis:Folgt unmittelbar aus der Definition von L ∗ .Sei (X, σ) ein endlichdimensionaler euklidischer Raum. Zu z ∈ X\{θ} definieren wir dieAbbildungsp z : X ∋ x ↦−→ x − 2 σ(z,x)σ(z,z) z ∈ X.Wir haben sp z ∈O(X, σ) , dennσ(sp z (x),sp z (y)) = σ(x − 2 σ(z,x) x, y − 2σ(z,y)σ(z,z) σ(z,z) y)=σ(x, z)z)z)σ(y, z)σ(x, y) − 2 σ(y, z) − 2σ(y, σ(x, z)+4σ(x,σ(z,z) σ(z,z) σ(z,z)σ(z,z) σ(z,z)= σ(x, y).Ferner gilt sp z ◦ sp z = id X und sp az = sp z ,a≠0.Ist nun H z = {x ∈ X|σ(x, z) =0}, dann haben wirund für x = az + u ∈L({z}) ⊕ H z folgtX = L({z}) ⊕ H zsp z (x) =sp z (az + u) =−az + u.Also stellt sp z eine Spiegelung des Raumes X an der Hyperebene H z dar.Satz 8.41Sei (X, σ) ein euklidischer Vektorraum mit dim X = n. Ist L ∈O(X, σ), so gibt esSpiegelungen S 1 ,...,S k ,k ≤ n, mit L = S k ◦···◦S 1 .Beweis:Wir beweisen die Aussage induktiv. Der Fall n = 1 ist trivial. Sei n>1. O.E. kann L ≠ idangenommen werden. Also gibt es x ∈ X mit L(x) − x =: z ≠ θ. Sei S := sp z (sieheoben). Dann istS(L(x) − x) =Sz = −z = −(L(x) − x)undS(L(x)+x) =L(x)+x,