Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 210unitärere endlichdimensionaler Vektorraum ist; der Beweis verläuft analog. Ebenso istdamit auch in diesem Fall der Begriff selbstadjungiert dadurch erklärt, daß L = L ∗gefordert wird. Man spricht nun statt von “Selbstadjungiertheit“ von Symmetrie, fallsder Fall des euklidischen Vektorraums vorliegt.Definition 8.38(a) Sei (X, σ) ein euklidischer Vektorraum. Wir setzenO(X, σ) :={L ∈ Hom(X, X)|σ(L(x),L(y)) = σ(x, y),x,y∈ X}und nennen O(X, σ) die Gruppe der orthogonalen Abbildungen.(a) Sei (X, σ) ein unitärer Vektorraum. Wir setzenU(X, σ) :={L ∈ Hom(X, X)|σ(L(x),L(y)) = σ(x, y),x,y∈ X}und nennen U(X, σ) die Gruppe der unitären Abbildungen.2Es ist klar, daß jede orthogonale Abbildung in einem euklidischen Vektorraum eine Isometrieist. Umgekehrt ist auch jede lineare Isometrie eine orthogonale Abbildung (sieheAbschnitt 6.1 und Satz 6.14).Folgerung 8.39Sei (X, σ) ein endlichdimensionaler euklidischer (unitärer) Vektorraum. Dann istO(X, σ) (U(X, σ)) eine Untergruppe von GL(X).Beweis:Wir betrachten nur den euklidischen Fall, der Beweis für den unitären Fall läuft analog.Der Beweis, daß O(X, σ) eine Teilmenge von GL(X) ist, folgt wie im Beweis zu Satz 6.14.Die Aussagen id X ∈O(X, σ),f ◦ g ∈O(X, σ), falls f,g ∈O(X, σ) sind trivial.Sei nun f ∈O(X, σ). Sei f(x) =θ. Dann folgt 0 = σ(f(x),f(x)) = σ(x, x), also x = θ.Also ist f injektiv.Dies zeigt, daß jedes f ∈O(X, σ) linear und sogar bijektiv ist, also zu GL(X) gehört.Für f ∈O(X, σ) gilt nun mit x, y ∈ XAlso ist auch f −1 in O(X, σ).σ(f −1 (x),f −1 (y)) = σ(f(f −1 (x)),f(f −1 (y))) = σ(x, y).