Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 208eine Lösung besitzt. Dazu genügt es zu zeigen, daß das zugehörige homogene System nurtrivial lösbar ist.Sei alson∑b j σ(u j ,u i )=0, 1 ≤ i ≤ n.∑Mit z := n b j u j folgt darausj=1j=1n∑ n∑σ(z,z) = b i b j σ(u j ,u i )=0,j=1 i=1also z = θ und somit b 1 = ... = b n =0, da u 1 ,...,u n eine Basis von U ist. Also giltX = U + U ⊥ . Die Tatsache U ∩ U ⊥ = {θ} ist trivial.Die Hyperebenen durch θ sind gerade die (n − 1)− dimensionalen Teilräume von X. IstH eine Hyperebene durch θ, soistH ⊥ nach dem obigen Korollar eindimensional, alsoH ⊥ = L({x 0 })mitx 0 ∈ X\{θ}; x 0 ist dadurch bis auf einen von Null verschiedenenFaktor eindeutig bestimmt. Wir sehen damit, daß die Hyperebenen durch θ gerade dieMengenH x o = {x ∈ X|σ(x 0 ,x)=0} ,x 0 ≠ θ,sind. Eine beliebige Hyperebene (affiner Teilraum der affinen Dimension n − 1) hat danndie FormH x 0 ,a = {x ∈ X|σ(x 0 ,x)=a} ,x 0 ≠ θ, a ∈ IR .In anderer Darstellung (Hessesche Normalform) habenwir1H x 0 ,a = {x ∈ X| (σ(x 0 ,x) − a) =0}.‖x 0 ‖ σDer Abstand dist(z,H x 0 ,a) eines Punktes z ∈ X von der Hyperebene H x 0 ,a ist definiertdurchdist(z,H x 0 ,a) :=inf{‖z − x‖ σ |x ∈ H x 0 ,a} .Aus der Hesseschen Normalform liest man abdist(z,H x 0 ,a) = 1‖x 0 ‖ σ(σ(x 0 ,z) − a),denn mit dem Lot z 0 := z −‖x 0 ‖ −2σ (σ(x 0 ,z) − a)x 0 von z auf H x 0 ,a gilt:z 0 ∈ H x 0 ,a,z 0 − z ∈L({x 0 }),σ(x − z 0 ,x 0 )=0für alle x ∈ H x 0 ,a,‖x − z‖ 2 σ = ‖x − z 0 ‖ 2 σ + ‖z 0 − z‖ 2 ≥‖z 0 − z‖ 2 für alle x ∈ H x 0 ,a.Damit ist die Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Hyperebene formelmäßigbekannt.