Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 207Dann ist die Familie (e k ) k∈IN 0mitpaarweise orthogonal, genauer:Dies liest man für k ≠ l aus der Identität∫π−πe k (t) := 1 √2πe ikt ,t∈ [−π,π] ,σ(e k ,e l )=δ kl ,k,l∈ IN 0 .e −ikt e ilt dt =1i(l − k) ei(l−k)t | t=πt=−πab; der Fall k = l ist trivial. 2Definition 8.34Sei (X, σ) ein euklidischer (unitärer) Vektorraum und sei U ein linearer Teilraumvon X. DannheißtU ⊥ := {y ∈ X|σ(x, y)=0für alle x ∈ U}das orthogonale Komplement von U.2Offenbar ist U ⊥ stets wieder ein linearer Teilraum von X und es gilt {θ} ⊥ = X, X ⊥ = {θ}.Die Bezeichnung ”Komplement“ wird einsichtig durchFolgerung 8.35Sei (X, σ) endlichdimensionaler euklidischer (unitärer) Vektorraum und sei U einlinearer Teilraum von X. Dann giltX = U ⊕ U ⊥ , dim X =dimU +dimU ⊥ .Beweis:Wähle ein Komplement W von U, d.h.X = U ⊕ W. Sei u 1 ,...,u n eine Basis von U.Sei x ∈ X, x = u + w,u∈ U, w ∈ W. Wir zeigen, daß es ein y ∈ U gibt mit w − y ∈ U ⊥ .Ansatz:n∑y = a j u jj=1Offenbar ist w − y in U ⊥ genau dann, wenn σ(w − y, u i )=0, 1 ≤ i ≤ n, gilt. Also genügtes zu zeigen, daß das Gleichungssystemn∑a j σ(u j ,u i )=σ(w, u i ) , 1 ≤ i ≤ n,j=1