Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 205Die Menge S := {x ∈ IK n |‖x‖ 2 =1} ist kompakt und die Abbildungist stetig. Dies folgt ausf : IK n ∋ x ↦−→ ∈ IR|f(x) − f(y)| = | − |≤ | | + | |≤ ‖x − y‖ 2 ‖Ax‖ 2 + ‖y‖ 2 ‖A(x − y)‖ 2≤ K‖x − y‖ 2wobei sich K aus der Stetigkeit der linearen AbbildungIK n ∋ x ↦−→ Ax ∈ IK 1,nergibt (siehe Satz 8.16 und Satz 8.17). Also erhält man C 1 ,C 2 als Minimum bzw. Maximumvon f auf S.Beispiel 8.31Sei X := ′C n,n . Wir definieren ein Skalarprodukt auf X durchσ : X × X ∋ (A, B) ↦−→ spur(A t B) ∈ ′C ,wobei mit spur(C) dieSpur einer Matrix C ∈ ′C n,n bezeichnet wird:spur : ′C n,n ∋ C =(c ij ) i=1(1)n , j =1(1)n↦−→n∑c ii ∈ ′C .i=1Als die von σ induzierte Norm ‖·‖ σ erhalten wir für A =(a ij ) i=1(1)n , j =1(1)nn∑ n∑‖A‖ σ =( |a ij | 2 ) 1 2 .j=1 i=1Sie entspricht der euklidischen Norm, wenn man A spaltenweise als Vektor in ′C n2 schreibt.2Als Anwendung unserer bisherigen Überlegungen können wir nun das Vektorprodukt vonIR 3 auf IR n erweitern.Sei X := IR n und sei σ das euklidische Skalarprodukt in IR n . Zu u 1 ,...,u n−1 ∈ IR n undx ∈ IR n betrachte det(u 1 | ...|u n−1 |x). Dies definiert uns eine Linearform λ ∈ X ′ durchAlso gibt es nach Satz 8.19 ein z ∈ X mitλ : X ∋↦−→ det(u 1 | ...|u n−1 |x) ∈ IR .=det(u 1 ,...,u n−1 ,x)= 2 ,x∈ IR .Man nennt z das äußere Produkt von u 1 ,...,u n−1 und schreibtz = u 1 ∧ ...∧ u n−1 ,