Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 204Definition 8.28(a) Ein Paar (X, σ) heißt ein euklidischer Vektorraum, wenn X ein Vektorraumüber IR und σ ein Skalarprodukt auf X ist.(b) Ein Paar (X, σ) heißt ein unitärer Vektorraum, wenn X ein Vektorraumüber ′C undσ ein Skalarprodukt auf X ist.2Ist (X, σ) ein euklidischer (unitärer) Vektorraum und ist U ein linearer Teilraum, dannist auch (U, σ) wieder ein euklidischer (unitärer) Vektorraum.Sei X := ′C n und A ∈ ′C n,n . Wann wird durchX × X ∋ (x, y) ↦−→ 2 ∈ ′Cwieder ein Skalarprodukt erklärt? Sicher benötigen wir A = A t , wobei A die konjugiertkomplexen Einträge von A hat. Dies sichert uns ∈ IR für alle x ∈ ′C n . Für dieDefinitheit benötigen wir auch nochDies führt uns zuDefinition 8.29Sei A ∈ IK n,n . Aheißt 2 > 0 für alle x ≠ θ.(a) symmetrisch (hermitesch) ⇐⇒ A ∈ IR n,n ,A t = A (A ∈ ′C n,n , A t = A).(b) positiv definit ⇐⇒ A hermitesch, 2 > 0 ,x∈ IK \{θ} .(c) positiv semidefinit ⇐⇒ A hermitesch, 2 ≥ 0 ,x∈ IK \{θ} .(d) negativ definit ⇐⇒ A hermitesch, 2 < 0 ,x∈ IK \{θ} .(e) negativ semidefinit ⇐⇒ A hermitesch, 2 ≤ 0 ,x∈ IK \{θ} .(f) indefinit ⇐⇒ Es gibt x, y ∈ IK n mit 2 < 0 , 2 > 0 . 2Folgerung 8.30Ist A ∈ IK n,n positiv definit, dann gibt es C 1 > 0,C 2 > 0 mitC 1 ‖x‖ 2 2 ≤ 2 ≤ C 2 ‖x‖ 2 2 ,x∈ IK n .Beweis:Da für x = θ die Ungleichung sicher richtig ist, haben wir sie nur für x ≠ θ zu zeigen. Wirzeigen dazu die Existenz von C 1 > 0,C 2 > 0mitC 1 ≤ 2 ≤ C 2 ,x∈ IK n , ‖x‖ 2 =1.