Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 141.4 RelationenDas Gleichheitszeichen “ =“ verwenden wir in einer Menge unter der stillschweigendenAnnahme der folgenden Regeln:Dies nehmen wir zum Anlaß fürx = x ; x = y =⇒ y = x ; x = y, y = z =⇒ x = z.Definition 1.22Sei X eine Menge. Eine Teilmenge R ⊂ X × X heißt Äquivalenzrelation auf X,falls gilt:(i) (x, x) ∈ R für alle x ∈ X(ii) (x, y) ∈ R =⇒ (y,x) ∈ R(Reflexivität)(Symmetrie)(iii) (x, y), (y,z) ∈ R =⇒ (x, z) ∈ RLiegt mit R auf X eine Äquivalenzrelation vor, so schreiben für (x, y) ∈ Rx R ∼ y oder kurz x ∼ y.(Transitivität)Die Bedeutung einer Äquivalenzrelation liegt darin, daß man damit die Menge X inKlassen einteilen kann, eine Einteilung, die eventuell gröber ist, als die Aufteilung ineinelementige Mengen, und die bezüglich eines “Merkmales“ doch noch aussagekräftigist. Die Klasseneinteilung geschieht durchund[x]:={y ∈ X|y R ∼ x} ,x∈ X,X /R := {[x]|x ∈ X} .Die Objekte [x] heißenÄquivalenzklassen, x heißt Repräsentant der Klasse [x] . Manbeachte, daß jedes y ∈ X mit y R ∼ x als Repräsentant für [x] Verwendung finden kann.Das folgende Lemma zeigt, daß X durch “ ∼“ in disjunkte Klassen zerlegt wird.2Lemma 1.23Sei X eine Menge und sei R eine Äquivalenzrelation auf X. Dann gilt:(a) Für jedes x ∈ X gibt es [y] ∈ X /R mit x ∈ [y] .(b) Es ist x ∼ y genau dann, wenn [x] =[y] gilt.(c) Zwei Äquivalenzklassen besitzen genau dann nichtleeren Durchschnitt, wennsie gleich sind.Beweis: