Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 199eine lineare Abbildung, d.h. T ∗ ein Homomorphismus der Vektorräume. Diese AbbildungT ∗ ist injektiv genau dann, wenn Kern(T )={θ} gilt. Also haben wirSatz 8.19Sei X ein IK – Vektorraum und sei T eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform.Dann ist durchT ∗ : X ∋ x ↦−→ T (x, ·) ∈ X ′ein Monomorphismus definiert.Zusatz: Ist X endlichdimensional, dann ist T ∗ ein Isomorphismus, insbesondere gibtes zu jeder Linearform λ ∈ X ′ ein x ∈ X mit λ = T ∗ (x).Beweis:Nur noch der Zusatz bedarf eines Beweises. Er ergibt sich aber aus der Tatsache, daß nunT ∗ sogar bijektiv ist, da X ′ endlichdimensional ist.Satz 8.20Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei T ∈T 2 (X) eine symmetrischenicht–ausgeartete Bilinearform von X. Dann gibt es zu jedem L ∈ Hom IK (X, X)ein L ∗ ∈ Hom IK (X, X) mitT (x, L(y)) = T (L ∗ (x),y) für alle x, y ∈ X.Zusatz: L ∗ ist hierdurch eindeutig bestimmt.Beweis:Für x ∈ X betrachten wir die LinearformNach Satz 8.19 gibt es genau ein ˜x ∈ X mitDamit erklären wir die Abbildungλ x : X ∋ z ↦−→ T (x, L(z)) ∈ IK .λ x (z) =T (x, L(z)) = T (˜x, z),z ∈ X.L ∗ : X ∋ x ↦−→ ˜x ∈ X.Diese Abbildung ist linear, denn da T nichtausgeartet ist, folgt ausT (L ∗ (ax + by),z) = T (ax + by, L(z))= aT (x, L(z)) + bT (y, L(z))= aT (L ∗ (x),z)+bT (L ∗ (y),z)= T (aL ∗ (x),z)+T (bL ∗ (y),z)offenbarL ∗ (ax + by) =aL ∗ (x)+bL ∗ (y).