Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 197Setzef n (t) := 1 cos(nt),t∈ [0, 2π],n∈ IN .nEs gilt ‖f n ‖ 1 = 2π n ,n∈ IN . Also ist (f n) n∈IN eine Nullfolge in X. Aberesist‖Df n ‖ 1 =4,n∈ IN .Somit ist D nicht stetig. 2Satz 8.16Seien (X, ‖·‖ X ), (Y,‖·‖ Y ) normierte Räume und sei L : X −→ Y linear. Dannsind äquivalent:(a) L ist beschränkt, d.h. es gibt c>0 mit ‖L(x)‖ Y ≤ c‖x‖ X für alle x ∈ X.(b) L ist stetig in jedem x 0 ∈ X.(c) L ist stetig in x 0 := θ.Beweis:a) =⇒ b) :Sei x 0 ∈ X. Sei ε>0. Wähle δ := ε c . Für ‖x − x0 ‖ 0mit‖L(x) − L(x 0 )‖ = ‖L(x − x 0 )‖≤c‖x − x 0 ‖