Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 196Sei X := C[0, 1] := {f :[0, 1] −→ IR |f stetig}. Auf X ist durch‖·‖ 1 : X ∈ f ↦−→∫ 10|f(x)|dt ∈ IReine Norm gegeben. Wir definieren durch⎧1 , 0 ≤ t ≤ 1 2 − n1⎪⎨ nf n :[0, 1] ∋ t ↦−→ 2− nt ,2 1 − n 1 ≤ t ≤ 1 2 + n1 ∈ IR ,n∈ IN ,⎪⎩ −1 , 1 2 + n 1 ≤ teine Cauchyfolge (f n ) n∈IN in X, denn für m ≥ n gilt‖f n − f m ‖ 1 =∫10|f n (t) − f m (t)|dt ≤ 4 m .Wir zeigen nun, daß es kein f ∈ X gibt, das Grenzwert der Folge (f n ) n∈IN ist.Annahme: (f n ) n∈IN konvergiert gegen f ∈ X. Aus der Stetigkeit der Norm folgt, daßf(t) =1, 0 ≤ t ≤ 1 2 ,f(t) =−1, 1 20 gibt mit B r (x) ⊂ A; wir setzen A ◦ := {x ∈ A|x innerer Punkt von A}.Wir wollen nun wieder zu den Abbildungen der linearen Algebra, nämlich den linearen Abbildungen,zurückkommen. Als Hauptresultat erhalten wir, daß alle linearen Abbildungenauf endlichdimensionalen Räumen stetig sind. Zuvor ein Gegenbeispiel dazu:Beispiel 8.15Sei X := C ∞ [0, 2π] :={f :[0, 2π] −→ IR |f unendlich oft differenzierbar}. AufXbetrachte die Norm‖·‖: X ∋ f ↦−→∫2πBetrachte dazu die lineare Abbildung (Ableitung)0|f(t)|dt ∈ IR .D : X ∋ f ↦−→ f ′ ∈ X.