Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 195(Wir betrachten hier den Fall, daß der Skalarkörper IR ist.) Es istn∑n∑|f(a) − f(a 0 )|≤‖ (a i − a 0 i )x i ‖≤c |a i − a 0 i | .i=1i=1Daher ist f stetig (bezüglich der Norm ‖·‖ 1 ) und nach Satz 8.11 gibt es m>0mitDaraus folgt sofortn∑‖x‖ = ‖ a i x i ‖ = f(a) ≥ m für alle x mit ‖x‖ 0 ≤ 1 .i=1‖x‖ ≥m‖x‖ 0 für alle x ∈ X.Wendet man dies nun auch auf die Norm ‖·‖ ∼ an, dann erhält man die Aussage durcheinfaches Umrechnen. 2Satz 8.12 besagt, daß in einem endlichdimensionalen Vektorraum über (IR oder ′C )dieinduzierte Topologie von der gewählten Norm unabhängig ist.Satz 8.13Sei (X, ‖·‖) ein normierter Raum. Dann gilt:(a) Ist dim X