Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 194Satz 8.11Sei (X, ‖·‖) ein normierter Raum, sei A ⊂ X kompakt und sei f : A −→ IR stetig.Dann gibt es x 0 ,x 1 ∈ A mitf(x 0 )=inf f(x)x∈A ,f(x1 )=supf(x) .x∈ABeweis:Es ist der Beweis nur zu einem Fall zu führen.Sei (x n ) n∈IN eine Minimalfolge, d.h. lim f(x n )=inff(x) . Da A kompakt ist, enthält diesen∈IN x∈AFolge eine konvergente Teilfolge: x 0 = lim x n k . Da f stetig ist, gilt f(x 0 ) = lim f(x n k )=k∈IN k∈INinf f(x) .x∈AKarl Weierstraß (1815 – 1897) klärte die Begriffe “Infimum“ und “Minimum“ völlig auf und beseitigtedamit die vorhandenen Unklarheiten, die aus der Auslassung von Existenzbetrachtungen beiExtremalaufgaben an vielen Stellen entstanden waren; das sogenannte Dirichletproblem (P.G.L.Dirichlet (1805 – 1859)) war zentral dabei. Das Dirichletsche Prinzip besteht darin, eine Lösungmit Hilfe der Variationsrechnung zu finden. Bis etwa 1870 blieb allerdings dabei die Frage nachder Existenz von Minima nahezu unbeachtet; “inf“ wurde allzuoft mit “min“ gleichgesetzt.Hier hat auch seine “Entdeckung“ der gleichmäßigen Konvergenz durch K. Weierstraß (von Funktionenfolgen)seinen Platz.Nach diesen Vorbereitungen kommen wir nun zu einer für die Lineare Algebra in endlichdimensionalenVektorräumen wichtigen Aussage:Satz 8.12Sei X ein endlichdimensionaler Vektorraum über IR oder ′C . Seien ‖·‖ und ‖·‖ ∼Normen in X. Dann gibt es reelle Zahlen c 1 > 0,c 2 > 0 derart, daßc 1 ‖x‖ ∼ ≤‖x‖ ≤c 2 ‖x‖ ∼für alle x ∈ Xgilt.Beweis:Sei {x 1 ,...,x n ∑} eine Basis von X. Durch‖·‖ 0 : X ∋ x = n a i x i ∑↦−→ n |a i |∈IR wirdi=1i=1offenbar eine Norm ‖·‖ 0 auf X erklärt. Es istn∑n∑n∑‖ a i x i ‖≤ |a i |‖x i ‖≤c‖ a i x i ‖ 0i=1mit c := max1≤i≤n ‖xi ‖. Damit giltn∑‖x‖ = ‖ a i x i ‖≤c‖x‖ 0 für alle x ∈ Xi=1Betrachte die Abbildungi=1i=1n∑f : IR n ∋ a ↦−→ ‖ a i x i ‖∈IR .i=1