Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 192Definition 8.5Sei (X, ‖·‖) ein normierter Raum. Eine Folge (x n ) n∈INx ∈ X genau dann, wenn gilt:in X konvergiert gegen∀ε >0 ∃N ∈ IN ∀n ≥ N(‖x n − x‖ 0mitB ε (x 0 ) ⊂ X\A. Dazu gibt es N ∈ IN mit x n ∈ B ε (x 0 )für alle n ≥ N. Dies ist im Widerspruch zu x n ∈ A für alle n ∈ IN .(b) =⇒ (a)Annahme: A nicht abgeschlossen, d.h. X\A nicht offen.Dann gibt es x 0 ∈ X\A derart, daß zu jedem n ∈ IN ein x n ∈ A existiert mit ‖x 0 − x n ‖ 0 ∃N ∈ IN ∀n, m ≥ N(‖x n − x m ‖