Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Kapitel 8Euklidische VektorräumeWir betrachten nun die Begriffe ”Länge“ und ”Winkel“ in allgemeinem Rahmen. Darausentwickeln sich dann ”Orthogonalität“, ”Orthonormalbasis“ und ”Normalformen“ symmetrischerEndomorphismen.8.1 Normierte RäumeDefinition 8.1Sei IK ∈{IR , ′C} und sei X ein IK -Vektorraum. Eine Abbildung ‖·‖: X −→ IRheißt Norm genau dann, wenn gilt:(1) ‖x‖ ≥0 für alle x ∈ X undesgilt‖x‖ =0genau dann, wenn x = θ.(2) ‖ax‖ = |a|‖x‖ für alle x ∈ X, a ∈ IK .(3) ‖x + y‖ ≤‖x‖ + y‖ für alle x, y ∈ X.Das Paar (X, ‖·‖) heißt dann ein normierter Raum.2Die Eigenschaften aus Definition 8.1 hatten wir bereits in Lemma 6.12 kennengelernt. Esbesagt damit, daß der euklidische Abstand eine Norm darstellt. Im nächsten Abschnittordnen wir dies allgemein ein.Man sieht auch sehr schnell, daß ein normierter Raum (X, ‖·‖)mitderMetrikd : X × X ∋ (x, y) ↦−→ ‖x − y‖ ∈IRzu einem metrischen Raum wird. Wir können daher (wie in der Analysis) die topologischenBegriffe offen, abgeschlossen, kompakt“ erklären. Dazu noch eine Bezeichnung:”Die abgeschlossene Kugel um x 0 ∈ X mit Radius r>0istdieMengeB r (x 0 ):={x ∈ X|‖x − x 0 ‖≤r}.189